10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 5. senaryo test 3

$x \equiv 5 \pmod 8$ ve $x \equiv 2 \pmod 3$ koşullarını sağlayan en küçük pozitif $x$ tam sayısı kaçtır?

A) 5
B) 13
C) 21
D) 29
E) 37

Bu tür sorular, genellikle Çin Kalan Teoremi ile çözülen denklem sistemleridir. Amacımız, verilen iki koşulu aynı anda sağlayan en küçük pozitif $x$ tam sayısını bulmaktır.

• Adım 1: Verilen koşulları anlamak ve matematiksel olarak ifade etmek.

  Birinci koşul: $x \equiv 5 \pmod 8$. Bu, $x$ sayısının 8'e bölündüğünde kalanın 5 olduğu anlamına gelir. Yani, $x$ sayısı $8k + 5$ şeklinde yazılabilir, burada $k$ bir tam sayıdır.

  İkinci koşul: $x \equiv 2 \pmod 3$. Bu, $x$ sayısının 3'e bölündüğünde kalanın 2 olduğu anlamına gelir. Yani, $x$ sayısı $3m + 2$ şeklinde yazılabilir, burada $m$ bir tam sayıdır.

• Adım 2: Birinci koşulu kullanarak $x$'i ifade etmek ve bu ifadeyi ikinci koşulda yerine koymak.

  Birinci koşuldan $x = 8k + 5$ olduğunu biliyoruz.

  Bu ifadeyi ikinci koşul olan $x \equiv 2 \pmod 3$ denkleminde yerine yazalım:

  $8k + 5 \equiv 2 \pmod 3$

• Adım 3: Yeni kongrüansı basitleştirmek ve $k$ için bir değer bulmak.

  Kongrüansın her iki tarafındaki sayıları mod 3'e göre basitleştirelim:

  $8 \equiv 2 \pmod 3$ (çünkü $8 = 2 \times 3 + 2$)

  $5 \equiv 2 \pmod 3$ (çünkü $5 = 1 \times 3 + 2$)

  Bu değerleri denklemde yerine koyarsak:

  $2k + 2 \equiv 2 \pmod 3$

  Şimdi her iki taraftan 2 çıkaralım:

  $2k \equiv 0 \pmod 3$

  Bu ifade, $2k$'nin 3'ün bir katı olması gerektiği anlamına gelir. 2 ve 3 aralarında asal olduğu için, $k$'nin 3'ün bir katı olması gerekir. Yani, $k \equiv 0 \pmod 3$.

  Bu durumda, $k$ sayısını $3m$ şeklinde yazabiliriz, burada $m$ yine bir tam sayıdır.

• Adım 4: $k$ değerini $x$ ifadesinde yerine koyarak $x$'in genel formunu bulmak.

  $x = 8k + 5$ denkleminde $k = 3m$ ifadesini yerine yazalım:

  $x = 8(3m) + 5$

  $x = 24m + 5$

• Adım 5: En küçük pozitif $x$ tam sayısını bulmak.

  $x = 24m + 5$ ifadesi, $x$ sayısının 24'e bölündüğünde kalanın 5 olduğunu gösterir. Yani $x \equiv 5 \pmod{24}$.

  Bizden en küçük pozitif $x$ tam sayısı isteniyor. $m$ bir tam sayı olduğu için, $m$ değerlerine bakarak en küçük pozitif $x$ değerini bulabiliriz:

  Eğer $m = 0$ ise, $x = 24(0) + 5 = 5$.

  Eğer $m = 1$ ise, $x = 24(1) + 5 = 29$.

  Eğer $m = -1$ ise, $x = 24(-1) + 5 = -19$ (bu pozitif değildir).

  Görüldüğü gibi, $m=0$ için bulduğumuz $x=5$ değeri en küçük pozitif tam sayıdır.

• Adım 6: Bulduğumuz değeri kontrol etmek.

  $x=5$ için:

  $5 \pmod 8 = 5$ (İlk koşulu sağlar)

  $5 \pmod 3 = 2$ (İkinci koşulu sağlar)

  Her iki koşul da sağlandığı için, en küçük pozitif $x$ tam sayısı 5'tir.

Cevap A seçeneğidir.