10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 2. senaryo Test 1

Bir $ABC$ üçgeninde $a=3$ cm, $b=5$ cm ve $c=7$ cm olduğuna göre, $m(\hat{C})$ kaç derecedir?

A) $30^\circ$
B) $45^\circ$
C) $60^\circ$
D) $90^\circ$
E) $120^\circ$

Bir üçgende kenar uzunlukları bilindiğinde, herhangi bir açıyı bulmak için Kosinüs Teoremi'ni kullanırız. Bu teorem, üçgenin kenarları ile bir açısının kosinüsü arasındaki ilişkiyi açıklar. Sorumuzda $a=3$ cm, $b=5$ cm ve $c=7$ cm kenar uzunlukları verilmiş ve $m(\hat{C})$ açısı istenmektedir.

• Adım 1: Kosinüs Teoremi'ni Hatırlayalım

Bir $ABC$ üçgeninde, $C$ açısının karşısındaki kenar $c$ olmak üzere Kosinüs Teoremi şu şekildedir:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$

• Adım 2: Verilen Değerleri Formülde Yerine Koyalım

Bize verilen kenar uzunlukları $a=3$, $b=5$ ve $c=7$ cm'dir. Bu değerleri Kosinüs Teoremi formülünde yerine yazalım:

$7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(C)$

• Adım 3: Denklemi Çözerek $\cos(C)$ Değerini Bulalım

Şimdi denklemi adım adım çözelim:

• Önce kareleri alalım:

$49 = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(C)$

• Sağ taraftaki sayıları toplayalım:

$49 = 34 - 30 \cos(C)$

• $34$'ü eşitliğin sol tarafına atalım:

$49 - 34 = -30 \cos(C)$

$15 = -30 \cos(C)$

• Her iki tarafı $-30$'a bölelim:

$\cos(C) = \frac{15}{-30}$

$\cos(C) = -\frac{1}{2}$

• Adım 4: $\cos(C)$ Değerinden $C$ Açısını Bulalım

Kosinüsü $-\frac{1}{2}$ olan açıyı bulmamız gerekiyor. Bildiğimiz üzere $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$'dir. Kosinüs değeri negatif olduğu için, açının ikinci bölgede (yani $90^\circ$ ile $180^\circ$ arasında) olması gerekir. Bir açının kosinüsü negatif ise, bu açı $180^\circ - \alpha$ şeklinde bulunur, burada $\alpha$ referans açıdır.

Bu durumda, $C = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ olur.

Böylece, $m(\hat{C})$ açısının $120^\circ$ olduğunu bulmuş oluruz.

Cevap E seçeneğidir.