Bir $ABC$ üçgeninde $a=6$ cm, $m(\hat{A})=30^\circ$ ve $m(\hat{B})=45^\circ$ olduğuna göre, $b$ kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
A) $6\sqrt{2}$
B) $3\sqrt{2}$
C) $6$
D) $3$
E) $12$
Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım çözelim:
- Adım 1: Üçgenin iç açılarının toplamını hatırlayalım. Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman $180^\circ$ 'dir. Bu bilgiyi kullanarak $\hat{C}$ açısını bulabiliriz.
- Adım 2: $\hat{C}$ açısını hesaplayalım.
$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^\circ$ olduğundan,
$30^\circ + 45^\circ + \hat{C} = 180^\circ$
$75^\circ + \hat{C} = 180^\circ$
$\hat{C} = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$
- Adım 3: Sinüs teoremini hatırlayalım. Sinüs teoremi, bir üçgenin kenar uzunlukları ile karşılarındaki açıların sinüsleri arasındaki ilişkiyi ifade eder. Teorem şu şekildedir:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
- Adım 4: Sinüs teoremini kullanarak $b$ kenarını bulalım. Biz $a$, $\hat{A}$ ve $\hat{B}$'yi biliyoruz, bu yüzden şu oranı kullanabiliriz:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$
$\frac{6}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ}$
- Adım 5: $\sin 30^\circ$ ve $\sin 45^\circ$ değerlerini yerine koyalım.
$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ ve $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{6}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
- Adım 6: Denklemi çözelim.
$12 = \frac{2b}{\sqrt{2}}$
$b = \frac{12\sqrt{2}}{2}$
$b = 6\sqrt{2}$
Bu nedenle, $b$ kenarının uzunluğu $6\sqrt{2}$ cm'dir.
Cevap A seçeneğidir.
