10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 2. senaryo Test 3

Bir $ABC$ üçgeninde $a = 3$ cm, $b = 5$ cm ve $c = 7$ cm olduğuna göre, $m(\hat{C})$ kaç derecedir?

A) $30^\circ$
B) $45^\circ$
C) $60^\circ$
D) $90^\circ$
E) $120^\circ$

Bu tür bir üçgende, üç kenar uzunluğu bilindiğinde bir açıyı bulmak için Kosinüs Teoremi'ni kullanırız. Kosinüs Teoremi, bir üçgenin kenar uzunlukları ile açılarının kosinüsleri arasındaki ilişkiyi açıklar.

• Kosinüs Teoremi'ni Hatırlayalım:

  Bir $ABC$ üçgeninde, $C$ açısının karşısındaki kenar $c$, $A$ açısının karşısındaki kenar $a$ ve $B$ açısının karşısındaki kenar $b$ olmak üzere, Kosinüs Teoremi şu şekildedir:

  $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$

• Verilen Değerleri Yerine Yazalım:

  Soruda verilen kenar uzunlukları $a = 3$ cm, $b = 5$ cm ve $c = 7$ cm'dir. Bu değerleri Kosinüs Teoremi formülünde yerine yazalım:

  $7^2 = 3^2 + 5^2 - 2(3)(5) \cos(C)$

• Denklemi Çözelim:

  Şimdi denklemi adım adım basitleştirelim ve $\cos(C)$ değerini bulalım:

  • $49 = 9 + 25 - 2(3)(5) \cos(C)$
  • $49 = 34 - 30 \cos(C)$
• $\cos(C)$ Değerini Bulalım:

  Denklemdeki $34$ sayısını eşitliğin sol tarafına atalım:

  • $49 - 34 = -30 \cos(C)$
  • $15 = -30 \cos(C)$

  Şimdi her iki tarafı $-30$'a bölelim:

  • $\cos(C) = \frac{15}{-30}$
  • $\cos(C) = -\frac{1}{2}$
• Açı $C$'yi Belirleyelim:

  Hangi açının kosinüsü $-\frac{1}{2}$'dir? Bildiğimiz gibi $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$'dir. Kosinüs değeri negatif olduğuna göre, açının ikinci bölgede olması gerekir (bir üçgenin iç açısı $0^\circ$ ile $180^\circ$ arasında olmalıdır). İkinci bölgedeki bir açının kosinüsü negatif olur ve referans açısı $60^\circ$ olan açı $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$'dir.

  Dolayısıyla, $m(\hat{C}) = 120^\circ$'dir.

Cevap E seçeneğidir.