Bir şirkette çalışanların sigara içme durumu ve spor yapma alışkanlığı incelenmiştir. 200 çalışanın verileri aşağıdaki gibidir: | | Spor Yapıyor | Spor Yapmıyor | Toplam | |---|---|---|---| | Sigara İçiyor | 20 | 60 | 80 | | Sigara İçmiyor | 80 | 40 | 120 | | Toplam | 100 | 100 | 200 | Bu verilere göre, sigara içenler arasında spor yapma olasılığı ile sigara içmeyenler arasında spor yapma olasılığı arasındaki farkın mutlak değeri kaçtır?
A) $1/12$Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, verilen bir tablo üzerinden koşullu olasılıkları hesaplayarak aralarındaki farkı bulacağız. Adım adım ilerleyelim ve bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
Soru, sigara içenler ve sigara içmeyenler olmak üzere iki farklı grup için spor yapma olasılıklarını bulmamızı ve bu iki olasılık arasındaki farkın mutlak değerini hesaplamamızı istiyor. Tablo bize gerekli tüm bilgileri sunuyor:
Bu, koşullu bir olasılıktır. Yani, sadece sigara içenler grubuna odaklanacağız. Bu gruptaki toplam kişi sayısı 80'dir. Bu 80 kişi arasından kaç tanesi spor yapıyor? Tabloya göre 20 kişi.
Olasılık formülü: $P(\text{Olay A } | \text{ Olay B}) = \frac{\text{Olay A ve B'nin Gerçekleşme Sayısı}}{\text{Olay B'nin Gerçekleşme Sayısı}}$
Burada Olay A: Spor Yapıyor, Olay B: Sigara İçiyor.
$P(\text{Spor Yapıyor } | \text{ Sigara İçiyor}) = \frac{\text{Spor Yapıp Sigara İçenler}}{\text{Sigara İçenler Toplamı}} = \frac{20}{80}$
Bu kesri sadeleştirelim: $\frac{20}{80} = \frac{1}{4}$
Şimdi de sigara içmeyenler grubuna odaklanalım. Bu gruptaki toplam kişi sayısı 120'dir. Bu 120 kişi arasından kaç tanesi spor yapıyor? Tabloya göre 80 kişi.
Burada Olay A: Spor Yapıyor, Olay B: Sigara İçmiyor.
$P(\text{Spor Yapıyor } | \text{ Sigara İçmiyor}) = \frac{\text{Spor Yapıp Sigara İçmeyenler}}{\text{Sigara İçmeyenler Toplamı}} = \frac{80}{120}$
Bu kesri sadeleştirelim: $\frac{80}{120} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$
Bulduğumuz iki olasılık değeri $P_1 = \frac{1}{4}$ ve $P_2 = \frac{2}{3}$'tür. Şimdi bu iki değer arasındaki farkın mutlak değerini bulacağız:
$|\frac{1}{4} - \frac{2}{3}|$
Kesirleri çıkarabilmek için paydalarını eşitlememiz gerekiyor. 4 ve 3'ün en küçük ortak katı 12'dir.
$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$
Şimdi farkı hesaplayalım:
$|\frac{3}{12} - \frac{8}{12}| = |-\frac{5}{12}|$
Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder ve her zaman pozitif veya sıfırdır.
$|-\frac{5}{12}| = \frac{5}{12}$
Böylece, sigara içenler arasında spor yapma olasılığı ile sigara içmeyenler arasında spor yapma olasılığı arasındaki farkın mutlak değerini $\frac{5}{12}$ olarak bulmuş olduk.
Cevap D seçeneğidir.