10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 6. senaryo Test 2

Bir $x$ doğal sayısı 4'e bölündüğünde 3 kalanını, 5'e bölündüğünde 4 kalanını vermektedir. Buna göre, $x$'in alabileceği en küçük iki basamaklı doğal sayı değeri kaçtır?

A) 19
B) 23
C) 29
D) 39
E) 49

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir doğal sayının farklı sayılara bölündüğünde verdiği kalanları kullanarak o sayının alabileceği en küçük iki basamaklı değeri bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Verilen Bilgileri Matematiksel İfadeye Çevirme

Soruda verilen bilgilere göre, bir $x$ doğal sayısı için iki durum söz konusudur:

• $x$ sayısı 4'e bölündüğünde 3 kalanını verir. Bunu matematiksel olarak şöyle ifade edebiliriz: $x \equiv 3 \pmod{4}$.
• $x$ sayısı 5'e bölündüğünde 4 kalanını verir. Bunu da şöyle ifade edebiliriz: $x \equiv 4 \pmod{5}$.
• Adım 2: Kalanlarda Ortak Bir Özellik Arama

Şimdi kalanlara ve bölenlere dikkatlice bakalım:

• 4'e bölündüğünde kalan 3. Fark: $4 - 3 = 1$.
• 5'e bölündüğünde kalan 4. Fark: $5 - 4 = 1$.

Gördüğümüz gibi, her iki durumda da bölen ile kalan arasındaki fark 1'dir. Bu, soruyu çözmek için bize çok önemli bir ipucu verir.

• Adım 3: İfadeleri Yeniden Düzenleme

Eğer bir sayı 4'e bölündüğünde 3 kalanını veriyorsa, bu sayıya 1 eklersek 4'e tam bölünür. Yani $x+1$ sayısı 4'ün bir katıdır. Matematiksel olarak:

• $x \equiv 3 \pmod{4} \implies x+1 \equiv 3+1 \pmod{4} \implies x+1 \equiv 4 \pmod{4} \implies x+1 \equiv 0 \pmod{4}$.

Aynı şekilde, eğer bir sayı 5'e bölündüğünde 4 kalanını veriyorsa, bu sayıya 1 eklersek 5'e tam bölünür. Yani $x+1$ sayısı 5'in bir katıdır. Matematiksel olarak:

• $x \equiv 4 \pmod{5} \implies x+1 \equiv 4+1 \pmod{5} \implies x+1 \equiv 5 \pmod{5} \implies x+1 \equiv 0 \pmod{5}$.
• Adım 4: En Küçük Ortak Kat (EKOK) Kullanma

Yukarıdaki adımlardan anlıyoruz ki, $x+1$ sayısı hem 4'e hem de 5'e tam bölünmelidir. Bu durumda $x+1$ sayısı, 4 ve 5'in ortak katı olmalıdır. Biz $x$'in en küçük değerini aradığımız için, $x+1$'in de en küçük pozitif ortak katını bulmalıyız. Bu da 4 ve 5'in en küçük ortak katı (EKOK) olacaktır.

• EKOK(4, 5) = ?
• 4 ve 5 aralarında asal sayılar olduğu için, EKOK'ları bu sayıların çarpımına eşittir: $4 \times 5 = 20$.

Yani, $x+1$ sayısı 20'nin bir katı olmalıdır.

• Adım 5: $x$ Değerini Bulma

$x+1$ sayısı 20'nin bir katı olduğuna göre, $x+1 = 20k$ şeklinde yazabiliriz (burada $k$ bir pozitif tam sayıdır).

• $x+1 = 20k$
• $x = 20k - 1$

Bizden $x$'in alabileceği en küçük iki basamaklı doğal sayı değeri isteniyor. $k$ yerine pozitif tam sayılar vererek $x$ değerlerini bulalım:

• Eğer $k=1$ ise, $x = 20(1) - 1 = 19$.
• Eğer $k=2$ ise, $x = 20(2) - 1 = 39$.
• Eğer $k=3$ ise, $x = 20(3) - 1 = 59$.

Bulduğumuz $x$ değerleri 19, 39, 59, ... şeklinde devam eder. Bu değerler arasında en küçük iki basamaklı doğal sayı 19'dur.

• Adım 6: Cevabı Kontrol Etme

Bulduğumuz $x=19$ değerini orijinal koşullara göre kontrol edelim:

• 19 sayısı 4'e bölündüğünde: $19 = 4 \times 4 + 3$. Kalan 3'tür, doğru.
• 19 sayısı 5'e bölündüğünde: $19 = 5 \times 3 + 4$. Kalan 4'tür, doğru.

Her iki koşul da sağlandığına göre, cevabımız doğrudur.

Cevap A seçeneğidir.