12. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 8. senaryo meb Test 1

$f(x) = \ln(x^2 + 1)$ fonksiyonunun türevi nedir?

A) $\frac{1}{x^2 + 1}$
B) $\frac{2x}{x^2 + 1}$
C) $\frac{x}{x^2 + 1}$
D) $\frac{1}{2x}$
E) $\frac{2}{x^2 + 1}$

Bu soruda, $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ fonksiyonunun türevini bulmamız isteniyor. Bu tür bir fonksiyonun türevini alırken "Zincir Kuralı"nı kullanmamız gerekir.

• Adım 1: Zincir Kuralını Hatırlayalım.

  Genel olarak, eğer $u$ bir $x$ fonksiyonu ise, $\ln(u)$'nun türevi $\frac{d}{dx}(\ln(u)) = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}$ formülü ile bulunur. Burada $\frac{du}{dx}$ (veya $u'$) $u$'nun $x$'e göre türevidir.

• Adım 2: İç Fonksiyonu Belirleyelim.

  Bizim fonksiyonumuz $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ olduğuna göre, iç fonksiyonumuz $u = x^2 + 1$ olacaktır.

• Adım 3: İç Fonksiyonun Türevini Bulalım.

  Şimdi $u = x^2 + 1$ fonksiyonunun $x$'e göre türevini alalım:

  $u' = \frac{d}{dx}(x^2 + 1)$

  $x^2$'nin türevi $2x$ ve sabit sayı olan $1$'in türevi $0$'dır. Dolayısıyla:

  $u' = 2x + 0 = 2x$

• Adım 4: Zincir Kuralını Uygulayalım.

  Bulduğumuz $u$ ve $u'$ değerlerini Zincir Kuralı formülünde yerine koyalım:

  $f'(x) = \frac{1}{u} \cdot u'$

  $f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x)$

• Adım 5: Sonucu Düzenleyelim.

  İfadeyi daha düzenli bir şekilde yazarsak:

  $f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$

Bu sonuç, verilen seçeneklerden B seçeneği ile aynıdır.

Cevap B seçeneğidir.