12. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 7. senaryo meb Test 1

Aşağıdaki integrali hesaplayınız: $\int x \cdot e^{x^2} dx$

A) $e^{x^2} + C$
B) $\frac{1}{2} e^{x^2} + C$
C) $x^2 e^{x^2} + C$
D) $2 e^{x^2} + C$
E) $\frac{1}{4} e^{x^2} + C$

Bu integrali çözmek için, değişken değiştirme yöntemini kullanacağız. Bu yöntem, integrali daha basit bir forma dönüştürmemize yardımcı olur.

• Adım 1: Değişken Seçimi

  Uygun bir değişken seçimi yapmamız gerekiyor. Burada $u = x^2$ seçimi işimize yarayacak gibi duruyor. Çünkü $x^2$'nin türevi $x$ içeriyor ve integralde de $x$ çarpanı var.

• Adım 2: Türev Alma

  Şimdi seçtiğimiz $u$'nun türevini alalım: $\frac{du}{dx} = 2x$. Buradan $du = 2x \, dx$ elde ederiz.

• Adım 3: İntegrali Yeniden Yazma

  İntegrali $u$ ve $du$ cinsinden ifade etmemiz gerekiyor. İntegralimiz $\int x \cdot e^{x^2} dx$ idi. $du = 2x \, dx$ olduğundan, $x \, dx = \frac{1}{2} du$ olur. Şimdi integrali şu şekilde yazabiliriz: $\int e^{x^2} \cdot x \, dx = \int e^u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^u du$

• Adım 4: İntegrali Çözme

  Şimdi basit bir integral elde ettik: $\frac{1}{2} \int e^u du$. $e^u$'nun integrali $e^u$ olduğundan, integralin sonucu $\frac{1}{2} e^u + C$ olur.

• Adım 5: Değişkeni Geri Yerine Koyma

  Son olarak, $u$ yerine $x^2$ koyarak sonucu $x$ cinsinden ifade etmeliyiz: $\frac{1}{2} e^{x^2} + C$

Bu nedenle, $\int x \cdot e^{x^2} dx = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$ olur.

Cevap B seçeneğidir.