Aşağıdaki limitin değerini bulunuz: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}$
A) 0Bu soruyu çözmek için, trigonometrik limitlerde sıkça kullandığımız özel bir limiti hatırlamamız gerekiyor. Bu limit, $x \to 0$ iken $\frac{\sin(x)}{x}$ ifadesinin değeridir.
Öncelikle, $x \to 0$ iken verilen ifadeyi yerine koyarak limitin hangi duruma düştüğünü kontrol edelim:
Pay: $\sin(3x) \to \sin(3 \cdot 0) = \sin(0) = 0$
Payda: $x \to 0$
Bu durumda, limitimiz $\frac{0}{0}$ belirsizliğini göstermektedir. Bu tür belirsizlikleri gidermek için özel limit kurallarını veya L'Hôpital kuralını kullanabiliriz. Biz burada özel limit kuralını kullanacağız.
Matematikte çok önemli bir özel limit kuralı vardır:
$\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1$
Bu kuralı kullanarak verilen limiti çözmeye çalışacağız.
Bizim limitimiz $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}$ şeklindedir. Özel limit kuralını uygulayabilmek için, $\sin$ fonksiyonunun içindeki ifade (yani $3x$) ile paydadaki ifadenin aynı olması gerekir. Şu anda paydada sadece $x$ var.
Paydayı $3x$ yapmak için ifadeyi $3$ ile çarpıp $3$ ile bölebiliriz. Bu, ifadenin değerini değiştirmez:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \cdot \frac{3}{3}$
Şimdi ifadeyi yeniden düzenleyelim:
$\lim_{x \to 0} 3 \cdot \frac{\sin(3x)}{3x}$
Limitin özelliklerinden biri, sabit bir sayının limit dışına alınabilmesidir:
$3 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x}$
Şimdi, $u = 3x$ dönüşümünü yapalım. $x \to 0$ iken, $u$ da $3 \cdot 0 = 0$'a yaklaşır. Yani $u \to 0$.
Bu durumda limitimiz şu hale gelir:
$3 \cdot \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u}$
Adım 2'de hatırladığımız özel limit kuralına göre, $\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1$'dir.
O halde, limitin değeri:
$3 \cdot 1 = 3$
Bu nedenle, $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}$ limitinin değeri $3$'tür.
Cevap D seçeneğidir.
