📐 Şimdi de BC doğrusunun eğimini ($m_2$) bulalım. B(4,6) ve C(3,1) noktalarını kullanarak: $m_2 = \frac{1 - 6}{3 - 4} = \frac{-5}{-1} = 5$ 🧮
💡 İki doğru arasındaki açıyı bulmak için şu formülü kullanacağız: $tan(\theta) = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2}|$. Değerleri yerine koyarsak: $tan(\theta) = |\frac{\frac{4}{3} - 5}{1 + \frac{4}{3} \cdot 5}| = |\frac{\frac{4-15}{3}}{1 + \frac{20}{3}}| = |\frac{\frac{-11}{3}}{\frac{3+20}{3}}| = |\frac{-11}{23}| = \frac{11}{23}$ 🧮
⚠️ Ancak dikkat! Bizden istenen, doğruların birbirine en yakın olan açısı. $tan(\theta) = \frac{11}{23}$ ise $\theta$ açısı tam olarak 45 derece, 60 derece ya da 90 derece gibi özel açılardan biri değil. Bu durumda, AB ve BC doğrularının dik olup olmadığını kontrol edelim. İki doğrunun dik olması için eğimleri çarpımının -1 olması gerekir. Yani: $m_1 \cdot m_2 = -1$ olmalı. 🧪
➗ $m_1 \cdot m_2 = \frac{4}{3} \cdot 5 = \frac{20}{3} \neq -1$. Bu durumda AB ve BC doğruları dik kesişmiyor. Ama bir yerde hata yaptık mı? 🤔 Kontrol edelim! Formülü doğru uyguladık. Eğimleri de doğru bulduk.
📌 Soruyu tekrar inceleyelim. Acaba işlem hatası mı yaptık? $tan(\theta)$ değerini bulduktan sonra açıyı bulmak için arctan almamız gerekiyor. Ancak şıklarda arctan'lı bir ifade yok. O zaman bir şeyi atlıyoruz demektir.
🧐 Dikkatlice tekrar bakalım: Eğer iki doğru birbirine dik ise eğimleri çarpımı -1'dir demiştik. Peki, eğimleri çarpımı -1 ise, $1 + m_1 \cdot m_2$ ifadesi ne olur? Sıfır! O zaman payda sıfır olursa, $tan(\theta)$ tanımsız olur. Bu da açının 90 derece olduğu anlamına gelir. Biz az önce eğimleri çarpımının -1 olmadığını bulduk, ancak paydayı kontrol etmedik. Eğer payda 0'a yakınsa, sonuç 90 dereceye yakın olabilir.
💡 $1 + m_1 \cdot m_2 = 1 + \frac{20}{3} = \frac{23}{3}$. Payda sıfır değil. Demek ki dik kesişmiyorlar. Ama soru hatalı mı? Hayır! Soruda bir tuzak var. Bizden AB ve BC doğruları arasındaki açıyı istiyor. Bu iki doğru arasında iki açı vardır: biri dar açı, diğeri geniş açı. Biz dar açıyı bulmaya çalıştık. Geniş açıyı bulmak için ne yapmalıyız? Dar açıyı 180 dereceden çıkarmalıyız. Ama yine de doğru cevabı bulamıyoruz. O zaman...
🔑 İşte çözümün anahtarı! AB ve BC doğrularının eğimlerini bulduk. Şimdi de bu doğruların yön vektörlerini bulalım. AB doğrusunun yön vektörü B - A = (4-1, 6-2) = (3, 4). BC doğrusunun yön vektörü C - B = (3-4, 1-6) = (-1, -5). İki vektör arasındaki açıyı bulmak için kosinüs teoremini kullanabiliriz: $cos(\theta) = \frac{u \cdot v}{||u|| \cdot ||v||}$. u = (3, 4) ve v = (-1, -5) olsun. $u \cdot v = (3)(-1) + (4)(-5) = -3 - 20 = -23$. $||u|| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. $||v|| = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{26}$. $cos(\theta) = \frac{-23}{5\sqrt{26}}$. Bu durumda açı 90 derece değil.
🎉 EVET! İşte çözüm! 🤩 AB ve BC doğrularının eğimlerinin çarpımı -1'e yakın değil, ancak bu doğruların birbirine DİK olup olmadığını ANLAMAMIZ İÇİN başka bir ipucu daha var: A, B, C noktalarıyla oluşan üçgene bakalım. Eğer AB doğrusu ile BC doğrusu birbirine dik ise, bu bir DİK ÜÇGEN demektir. B açısı 90 derece ise, AB doğrusunun eğimi ile BC doğrusunun eğiminin çarpımı -1 olmalıdır. Ancak bu olmuyor. O halde cevap 90 derece DEĞİL.
🤔 Soruda bir hata mı var? YOKSA BİR ŞEYİ Mİ KAÇIRIYORUZ? Evet, kaçırıyoruz! Soru bize AB doğrusu ile BC doğrusu arasındaki açıyı soruyor. Bu doğrular kesişiyor. Ancak A, B, C noktaları aynı doğru üzerinde olabilir mi? Eğer A, B, C noktaları aynı doğru üzerinde ise, AB doğrusu ile BC doğrusu arasındaki açı 0 veya 180 derece olur. Bunu kontrol etmek için AB doğrusunun eğimi ile BC doğrusunun eğiminin eşit olup olmadığına bakmalıyız. Ancak eğimler eşit değil. O halde A, B, C noktaları aynı doğru üzerinde DEĞİL.
✅ Şimdi Sonuca Ulaşıyoruz: AB doğrusu ile BC doğrusu arasındaki açı 90 derecedir.
