Aşağıdaki denklemlerden hangisi $y$, $x$'in bir fonksiyonu olarak ifade edilemez?
A) $y = x^2 + 1$Bir denklemin $y$'yi $x$'in bir fonksiyonu olarak ifade edebilmesi için, $x$'in tanım kümesindeki her bir değeri için $y$'nin yalnızca tek bir değeri olması gerekir. Bunu anlamanın en kolay yollarından biri, denklemi $y$ için çözmeye çalışmak ve $x$'in belirli bir değeri için birden fazla $y$ değeri elde edip etmediğimize bakmaktır. Geometrik olarak, bu durum "dikey çizgi testi" olarak bilinir: eğer bir denklemin grafiğine çizilen herhangi bir dikey çizgi, grafiği birden fazla noktada kesiyorsa, o denklem $y$'yi $x$'in bir fonksiyonu olarak ifade edemez.
A) $y = x^2 + 1$
Bu denklemde, $x$'in herhangi bir değeri için $y$'nin yalnızca tek bir değeri vardır. Örneğin, $x=1$ için $y = 1^2 + 1 = 2$ olur. $x=-1$ için $y = (-1)^2 + 1 = 2$ olur. Her $x$ değeri için tek bir $y$ değeri elde ederiz. Bu bir paraboldür ve dikey çizgi testini geçer. Dolayısıyla, $y$, $x$'in bir fonksiyonudur.
B) $y = \sqrt{x}$
Bu denklemde, $x$'in pozitif değerleri için (veya $x=0$ için) $y$'nin yalnızca tek bir değeri vardır. Örneğin, $x=4$ için $y = \sqrt{4} = 2$ olur (kök işareti, pozitif karekökü ifade eder). Her $x \ge 0$ değeri için tek bir $y$ değeri elde ederiz. Bu da dikey çizgi testini geçer. Dolayısıyla, $y$, $x$'in bir fonksiyonudur.
C) $x^2 + y^2 = 4$
Bu denklem bir çemberin denklemidir. $y$'yi $x$ cinsinden ifade etmeye çalışalım:
$y^2 = 4 - x^2$
$y = \pm \sqrt{4 - x^2}$
Burada, $x$'in belirli bir değeri için (örneğin, $x=0$ için), $y$ için iki farklı değer elde ederiz: $y = \pm \sqrt{4 - 0^2} = \pm \sqrt{4} = \pm 2$. Yani, $x=0$ iken $y=2$ veya $y=-2$ olabilir. Bu durum, $x$'in tek bir değeri için $y$'nin birden fazla değeri olduğu anlamına gelir. Bu denklem dikey çizgi testini geçemez. Dolayısıyla, $y$, $x$'in bir fonksiyonu olarak ifade edilemez.
D) $y = 2x - 3$
Bu denklem bir doğrunun denklemidir. $x$'in herhangi bir değeri için $y$'nin yalnızca tek bir değeri vardır. Örneğin, $x=1$ için $y = 2(1) - 3 = -1$ olur. Her $x$ değeri için tek bir $y$ değeri elde ederiz. Bu da dikey çizgi testini geçer. Dolayısıyla, $y$, $x$'in bir fonksiyonudur.
Yukarıdaki analizlere göre, $x^2 + y^2 = 4$ denklemi $y$'yi $x$'in bir fonksiyonu olarak ifade edemez.
Cevap C seçeneğidir.
