Aşağıdaki grafiklerden hangisi hem fonksiyon hem de birebir fonksiyondur?
A) Dikey doğru testini geçen ve yatay doğru testini geçemeyen bir grafik.
B) Dikey doğru testini geçemeyen ve yatay doğru testini geçen bir grafik.
C) Hem dikey hem de yatay doğru testlerini geçen bir grafik.
D) Hem dikey hem de yatay doğru testlerini geçemeyen bir grafik.
Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için öncelikle fonksiyon ve birebir fonksiyon kavramlarını ve bu kavramları grafik üzerinde nasıl test ettiğimizi hatırlayalım.
- Fonksiyon Nedir ve Nasıl Test Edilir?
- Bir ilişkinin fonksiyon olabilmesi için, tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde yalnızca bir elemanla eşleşmesi gerekir. Yani, bir $x$ değeri için yalnızca bir $y$ değeri olmalıdır.
- Grafik üzerinde bunu anlamak için Dikey Doğru Testi'ni kullanırız. Eğer grafiğin herhangi bir yerinden dikey bir çizgi çektiğimizde, bu çizgi grafiği en fazla bir noktada kesiyorsa, o grafik bir fonksiyondur. Eğer dikey çizgi grafiği birden fazla noktada kesiyorsa, o grafik bir fonksiyon değildir.
- Birebir Fonksiyon Nedir ve Nasıl Test Edilir?
- Bir fonksiyonun birebir olabilmesi için, değer kümesindeki her elemanın tanım kümesinde yalnızca bir elemanla eşleşmesi gerekir. Yani, farklı $x$ değerleri için farklı $y$ değerleri olmalıdır. Aynı $y$ değerine sahip iki farklı $x$ değeri bulunmamalıdır.
- Grafik üzerinde bunu anlamak için Yatay Doğru Testi'ni kullanırız. Eğer grafiğin herhangi bir yerinden yatay bir çizgi çektiğimizde, bu çizgi grafiği en fazla bir noktada kesiyorsa, o fonksiyon birebirdir. Eğer yatay çizgi grafiği birden fazla noktada kesiyorsa, o fonksiyon birebir değildir.
- Şimdi seçenekleri bu bilgiler ışığında inceleyelim:
- A) Dikey doğru testini geçen ve yatay doğru testini geçemeyen bir grafik.
- "Dikey doğru testini geçen" demek, bu grafiğin bir fonksiyon olduğu anlamına gelir.
- "Yatay doğru testini geçemeyen" demek, bu fonksiyonun birebir olmadığı anlamına gelir. Örneğin, $y = x^2$ grafiği bir fonksiyondur ama birebir değildir. Bu seçenek aradığımız cevap değildir.
- B) Dikey doğru testini geçemeyen ve yatay doğru testini geçen bir grafik.
- "Dikey doğru testini geçemeyen" demek, bu grafiğin bir fonksiyon olmadığı anlamına gelir.
- Bir grafik fonksiyon değilse, birebir fonksiyon da olamaz. Çünkü birebir fonksiyon tanımı gereği öncelikle bir fonksiyon olmalıdır. Bu seçenek aradığımız cevap değildir.
- C) Hem dikey hem de yatay doğru testlerini geçen bir grafik.
- "Dikey doğru testini geçen" demek, bu grafiğin bir fonksiyon olduğu anlamına gelir.
- "Yatay doğru testini geçen" demek, bu fonksiyonun aynı zamanda birebir olduğu anlamına gelir. Örneğin, $y = x$ veya $y = x^3$ grafikleri hem fonksiyon hem de birebir fonksiyondur. Bu seçenek aradığımız tanıma tam olarak uymaktadır.
- D) Hem dikey hem de yatay doğru testlerini geçemeyen bir grafik.
- "Dikey doğru testini geçemeyen" demek, bu grafiğin bir fonksiyon olmadığı anlamına gelir.
- "Yatay doğru testini geçemeyen" demek, bu grafiğin birebir de olmadığı anlamına gelir (zaten fonksiyon olmadığı için birebir de olamaz). Örneğin, bir çember grafiği her iki testi de geçemez. Bu seçenek aradığımız cevap değildir.
Sonuç olarak, hem fonksiyon hem de birebir fonksiyon olabilmek için grafiğin hem dikey doğru testini hem de yatay doğru testini geçmesi gerekmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
