Mantık bağlaçları 9. sınıf Test 1

Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri diğerlerinden farklıdır?

A) p ∨ (p ∧ q)
B) p ∧ (p ∨ q)
C) p ∨ (¬p ∧ q)
D) p ∧ (¬p ∨ q)

Bu soruda, verilen bileşik önermelerin doğruluk değerlerini sadeleştirerek veya belirli doğruluk değerleri atayarak hangisinin diğerlerinden farklı olduğunu bulmamız isteniyor. Her bir seçeneği adım adım inceleyelim:

• A) $p \lor (p \land q)$

  Bu ifade, mantıkta Yutma (Absorption) Yasası olarak bilinir. Bir önerme ile kendisinin ve başka bir önermenin "ve" bağlacıyla birleşimi, ilk önermeye denktir.

  $p \lor (p \land q) \equiv p$

  Dolayısıyla, A seçeneğinin doğruluk değeri $p$'nin doğruluk değerine eşittir.

• B) $p \land (p \lor q)$

  Bu da bir Yutma (Absorption) Yasası örneğidir. Bir önerme ile kendisinin ve başka bir önermenin "veya" bağlacıyla birleşimi, yine ilk önermeye denktir.

  $p \land (p \lor q) \equiv p$

  Dolayısıyla, B seçeneğinin doğruluk değeri de $p$'nin doğruluk değerine eşittir.

• C) $p \lor (\neg p \land q)$

  Bu ifadeyi Dağılma (Distributive) Yasası kullanarak sadeleştirebiliriz:

  $p \lor (\neg p \land q) \equiv (p \lor \neg p) \land (p \lor q)$

  Biliyoruz ki $p \lor \neg p$ her zaman doğrudur (bir totolojidir), yani $T$'ye denktir.

  $(p \lor \neg p) \land (p \lor q) \equiv T \land (p \lor q)$

  Bir totoloji ile herhangi bir önermenin "ve" bağlacıyla birleşimi, o önermenin kendisine denktir.

  $T \land (p \lor q) \equiv p \lor q$

  Dolayısıyla, C seçeneğinin doğruluk değeri $p \lor q$'nun doğruluk değerine eşittir.

• D) $p \land (\neg p \lor q)$

  Bu ifadeyi de Dağılma (Distributive) Yasası kullanarak sadeleştirebiliriz:

  $p \land (\neg p \lor q) \equiv (p \land \neg p) \lor (p \land q)$

  Biliyoruz ki $p \land \neg p$ her zaman yanlıştır (bir çelişkidir), yani $F$'ye denktir.

  $(p \land \neg p) \lor (p \land q) \equiv F \lor (p \land q)$

  Bir çelişki ile herhangi bir önermenin "veya" bağlacıyla birleşimi, o önermenin kendisine denktir.

  $F \lor (p \land q) \equiv p \land q$

  Dolayısıyla, D seçeneğinin doğruluk değeri $p \land q$'nun doğruluk değerine eşittir.

Şimdi tüm seçeneklerin sadeleşmiş hallerini bir araya getirelim:

• A) $\equiv p$
• B) $\equiv p$
• C) $\equiv p \lor q$
• D) $\equiv p \land q$

Görüldüğü gibi A ve B seçenekleri $p$'ye denktir. C seçeneği $p \lor q$'ya denktir. D seçeneği ise $p \land q$'ya denktir.

Bu noktada, hangi seçeneğin diğerlerinden farklı olduğunu bulmak için $p$ ve $q$ önermelerine belirli doğruluk değerleri atayabiliriz. Genellikle bu tür sorularda, bir veya iki test durumu, farklı olanı ortaya çıkarmak için yeterlidir.

Örneğin, $p$ doğru ($T$) ve $q$ yanlış ($F$) olsun:

• A) $p \equiv T$
• B) $p \equiv T$
• C) $p \lor q \equiv T \lor F \equiv T$
• D) $p \land q \equiv T \land F \equiv F$

Bu durumda, A, B ve C seçeneklerinin doğruluk değeri $T$ iken, D seçeneğinin doğruluk değeri $F$'dir. Bu nedenle D seçeneği diğerlerinden farklıdır.

Cevap D seçeneğidir.