Bu soruda, genel terimi $a_n = 2^n$ olan dizinin hangi seçenekte doğru verildiğini bulmamız isteniyor. Bir dizinin genel terimi, dizinin herhangi bir terimini (örneğin 1. terim, 2. terim vb.) bulmamızı sağlayan formüldür. Burada $n$, terimin sırasını (indeksini) gösterir.
-
Genel terimimiz $a_n = 2^n$ olarak verilmiş. Bu, dizinin $n$. terimini bulmak için $2$ sayısını $n$ kuvvetine yükseltmemiz gerektiği anlamına gelir.
-
Şimdi, bu genel terimi kullanarak dizinin ilk birkaç terimini hesaplayalım:
-
Dizinin birinci terimi ($n=1$ için): $a_1 = 2^1 = 2$.
-
Dizinin ikinci terimi ($n=2$ için): $a_2 = 2^2 = 2 \times 2 = 4$.
-
Dizinin üçüncü terimi ($n=3$ için): $a_3 = 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$.
-
Dizinin dördüncü terimi ($n=4$ için): $a_4 = 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$.
-
Bu durumda, genel terimi $a_n = 2^n$ olan dizi $2, 4, 8, 16, ...$ şeklinde devam eder.
-
Şimdi seçenekleri inceleyelim ve hangi seçeneğin bizim bulduğumuz diziyle eşleştiğini kontrol edelim:
-
A) $2, 4, 6, 8, ...$ Bu dizi, her terimin bir öncekinden $2$ fazla olduğu bir aritmetik dizidir. Genel terimi $a_n = 2n$ şeklindedir. Bu nedenle, aradığımız dizi bu değildir.
-
B) $1, 2, 4, 8, ...$ Bu dizi, her terimin bir öncekinin $2$ katı olduğu bir geometrik dizidir, ancak ilk terimi $1$'dir. Genel terimi $a_n = 2^{n-1}$ şeklindedir. Bu nedenle, aradığımız dizi bu değildir.
-
C) $2, 4, 8, 16, ...$ Bu dizi, bizim $a_n = 2^n$ genel terimiyle hesapladığımız diziyle tamamen aynıdır. İlk terim $2^1=2$, ikinci terim $2^2=4$, üçüncü terim $2^3=8$ ve dördüncü terim $2^4=16$'dır.
-
D) $1, 3, 5, 7, ...$ Bu dizi, tek sayılardan oluşan bir aritmetik dizidir. Genel terimi $a_n = 2n-1$ şeklindedir. Bu nedenle, aradığımız dizi bu değildir.
-
Görüldüğü gibi, C seçeneğindeki dizi, genel terimi $a_n = 2^n$ olan dizidir.
Cevap C seçeneğidir.
