Genel terim (an) Test 1

Bir aritmetik dizinin genel terimi $a_n = 5n + 3$ ise, bu dizinin ortak farkı kaçtır?

A) 2
B) 3
C) 5
D) 8

Bir aritmetik dizinin genel terimi $a_n = 5n + 3$ olarak verilmiştir. Bizden bu dizinin ortak farkını bulmamız isteniyor. Bir aritmetik dizinin ortak farkını bulmak için iki temel yöntem kullanabiliriz: dizinin ardışık terimlerini hesaplayıp aralarındaki farkı bulmak veya genel terim formülünden doğrudan çıkarım yapmak.

• Adım 1: Aritmetik Dizinin Tanımını Hatırlayalım

• Bir aritmetik dizi, ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu bir sayı dizisidir. Bu sabit farka ortak fark denir ve genellikle $d$ ile gösterilir.

  Yani, herhangi bir $n$ tam sayısı için $a_{n+1} - a_n = d$ eşitliği geçerlidir.

• Adım 2: Dizinin İlk Birkaç Terimini Hesaplayalım

• Bize verilen genel terim formülü $a_n = 5n + 3$. Bu formülü kullanarak dizinin ilk terimlerini bulalım:

  Birinci terim ($n=1$ için): $a_1 = 5(1) + 3 = 5 + 3 = 8$

  İkinci terim ($n=2$ için): $a_2 = 5(2) + 3 = 10 + 3 = 13$

  Üçüncü terim ($n=3$ için): $a_3 = 5(3) + 3 = 15 + 3 = 18$

  Böylece dizinin ilk üç terimi $8, 13, 18, \dots$ şeklinde bulunur.

• Adım 3: Ortak Farkı Bulalım

• Ortak fark, ardışık terimler arasındaki farktır. Bu farkın tüm ardışık terim çiftleri için aynı olması gerekir.

  İkinci terim ile birinci terim arasındaki fark: $a_2 - a_1 = 13 - 8 = 5$

  Üçüncü terim ile ikinci terim arasındaki fark: $a_3 - a_2 = 18 - 13 = 5$

  Gördüğümüz gibi, ardışık terimler arasındaki fark sabittir ve $5$'e eşittir. Bu değer, dizinin ortak farkıdır.

• Adım 4: Genel Terim Formülünden Doğrudan Çıkarım (Alternatif Yöntem)

• Bir aritmetik dizinin genel terimi genellikle $a_n = a_1 + (n-1)d$ şeklinde ifade edilir. Bu ifadeyi düzenleyerek $n$'in katsayısını belirgin hale getirebiliriz:

  $a_n = a_1 + dn - d$

  $a_n = dn + (a_1 - d)$

  Bu formülde, $n$'in katsayısı doğrudan ortak fark $d$'yi verir. Bize verilen genel terim $a_n = 5n + 3$ şeklindedir.

  Bu formülü $a_n = dn + (a_1 - d)$ ile karşılaştırdığımızda, $n$'in katsayısının $d$ olduğunu ve bizim formülümüzde bu katsayının $5$ olduğunu görürüz.

  Dolayısıyla, ortak fark $d = 5$'tir.

Her iki yöntem de bize aritmetik dizinin ortak farkının $5$ olduğunu göstermektedir.

Cevap C seçeneğidir.