$\int_0^1 (3x^2 + 2x) dx$ integralinin değeri kaçtır?
A) 1Sevgili öğrenciler, bu soruda belirli bir integralin değerini hesaplamamız isteniyor. Belirli integral, bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki alanını bulmamızı sağlar. Adım adım ilerleyerek bu integralin değerini bulalım.
Adım 1: Fonksiyonun Belirsiz İntegralini Bulma
İntegralini alacağımız fonksiyon $f(x) = 3x^2 + 2x$ şeklindedir. Belirli integralin ilk adımı, bu fonksiyonun belirsiz integralini (yani anti-türevini) bulmaktır. İntegral alma kurallarını (özellikle kuvvet kuralını, $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$) kullanarak her bir terimin integralini ayrı ayrı alalım:
Önce $3x^2$ teriminin integralini alalım:
$\int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$
Şimdi $2x$ teriminin integralini alalım:
$\int 2x dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$
Bu iki integrali birleştirerek $3x^2 + 2x$ fonksiyonunun belirsiz integralini buluruz. Belirli integral hesaplarken sabit $C$ terimini yazmamıza gerek yoktur, çünkü üst ve alt sınırları yerine koyduğumuzda bu sabitler birbirini götürecektir.
Dolayısıyla, $F(x) = \int (3x^2 + 2x) dx = x^3 + x^2$ olur. Bu, bizim anti-türev fonksiyonumuzdur.
Adım 2: Belirli İntegral Sınırlarını Uygulama
Belirli integralin değeri, anti-türevin üst sınırdaki değerinden alt sınırdaki değerinin çıkarılmasıyla bulunur. Yani, $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ formülünü kullanacağız. Burada $a=0$ (alt sınır) ve $b=1$ (üst sınır) ve $F(x) = x^3 + x^2$ dir.
Önce üst sınırı ($x=1$) anti-türev fonksiyonunda yerine koyalım:
$F(1) = (1)^3 + (1)^2 = 1 + 1 = 2$
Şimdi alt sınırı ($x=0$) anti-türev fonksiyonunda yerine koyalım:
$F(0) = (0)^3 + (0)^2 = 0 + 0 = 0$
Adım 3: Sonucu Hesaplama
Bulduğumuz değerleri çıkaralım:
$\int_0^1 (3x^2 + 2x) dx = F(1) - F(0) = 2 - 0 = 2$
Bu adımları takip ederek integralin değerini $2$ olarak bulduk.
Cevap B seçeneğidir.
