Fonksiyonlar TYT: Kritik Noktalar ve Soru Çözüm Teknikleri Test 1

$f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ fonksiyonunun tersi $f^{-1}(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\frac{2x + 1}{x - 1}$
B) $\frac{x - 1}{x + 2}$
C) $\frac{2x - 1}{x + 1}$
D) $\frac{x + 1}{x - 2}$
E) $\frac{x - 2}{x + 1}$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bir fonksiyonun tersini bulmak, aslında o fonksiyonun "yaptığı işi geri almak" gibidir. Yani, $x$ değerini alıp bir $y$ değeri üreten bir fonksiyonumuz varsa, ters fonksiyon $y$ değerini alıp bize başlangıçtaki $x$ değerini geri verir. Şimdi, $f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ fonksiyonunun tersini adım adım bulalım.

• Öncelikle, $f(x)$ yerine $y$ yazarak denklemi daha anlaşılır hale getirelim:

  $y = \frac{x + 1}{x - 2}$

• Bir fonksiyonun tersini bulmak için temel kural, $x$ ve $y$ değişkenlerinin yerlerini değiştirmektir. Bu, fonksiyonun giriş ve çıkış değerlerinin rollerini değiştirdiğimiz anlamına gelir:

  $x = \frac{y + 1}{y - 2}$

• Şimdi amacımız, bu yeni denklemde $y$ değerini yalnız bırakmaktır. $y$'yi yalnız bıraktığımızda bulduğumuz ifade, $f^{-1}(x)$ olacaktır. Denklemi çözmeye başlayalım:

  Denklemin her iki tarafını $(y - 2)$ ile çarpalım:

  $x(y - 2) = y + 1$

• $x$'i parantez içine dağıtalım:

  $xy - 2x = y + 1$

• Şimdi, içinde $y$ bulunan terimleri denklemin bir tarafına, diğer terimleri ise karşı tarafa toplayalım. Genellikle $y$'li terimleri sol tarafa almak işimizi kolaylaştırır:

  $xy - y = 2x + 1$

• Sol taraftaki terimlerde ortak çarpan olan $y$'yi parantez dışına alalım (faktörleyelim):

  $y(x - 1) = 2x + 1$

• Son olarak, $y$'yi yalnız bırakmak için denklemin her iki tarafını $(x - 1)$ ile bölelim:

  $y = \frac{2x + 1}{x - 1}$

• Böylece, $f^{-1}(x)$ fonksiyonunu bulmuş olduk:

  $f^{-1}(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$

Bu adımları takip ettiğimizde, doğru cevabın A seçeneği olduğunu görüyoruz.

Cevap A seçeneğidir.