Dönem ortalaması 80 olan bir öğrencinin, yıl sonu ortalamasının 85 olması için ikinci dönem ortalaması kaç olmalıdır (dönemlerin eşit ağırlıklı olduğu varsayılırsa)?
A) 80Bu problemde, bir öğrencinin iki dönemlik ortalamasının yıl sonu ortalamasını nasıl etkilediğini bulacağız. Dönemlerin eşit ağırlıklı olması, hesaplamamızı oldukça basit hale getiriyor.
Bir öğrencinin ilk dönem ortalaması 80 olarak verilmiş. Öğrencinin yıl sonu ortalamasının 85 olmasını istiyoruz. Yıl sonu ortalaması, ilk dönem ve ikinci dönem ortalamalarının eşit ağırlıklı ortalamasıdır. Bu durumda, ikinci dönem ortalamasının kaç olması gerektiğini bulmalıyız.
Elimizdeki veriler şunlardır:
İlk dönem ortalaması ($D_1$): $80$
İkinci dönem ortalaması ($D_2$): Bu değeri bulmamız gerekiyor.
Yıl sonu hedef ortalaması ($Y$): $85$
İki dönemin eşit ağırlıklı ortalaması, bu iki dönemin ortalamalarının toplamının ikiye bölünmesiyle bulunur. Yani:
Yıl Sonu Ortalaması = $\frac{\text{İlk Dönem Ortalaması} + \text{İkinci Dönem Ortalaması}}{2}$
Matematiksel olarak bu formülü şu şekilde ifade edebiliriz:
$Y = \frac{D_1 + D_2}{2}$
Şimdi bildiğimiz değerleri formüldeki yerlerine yazalım:
$85 = \frac{80 + D_2}{2}$
Amacımız $D_2$ değerini bulmak. Bunun için denklemi adım adım çözmeliyiz:
Öncelikle, eşitliğin her iki tarafını $2$ ile çarpalım ki paydadaki $2$'den kurtulalım:
$85 \times 2 = 80 + D_2$
$170 = 80 + D_2$
Şimdi $D_2$'yi yalnız bırakmak için $80$'i eşitliğin diğer tarafına geçirelim. Bir sayı eşitliğin diğer tarafına geçerken işareti değişir:
$170 - 80 = D_2$
$90 = D_2$
Bu sonuca göre, ikinci dönem ortalaması $90$ olmalıdır.
Bulduğumuz $D_2 = 90$ değerini formülde yerine koyarak yıl sonu ortalamasını tekrar hesaplayalım:
Yıl Sonu Ortalaması = $\frac{80 + 90}{2} = \frac{170}{2} = 85$
Gördüğümüz gibi, hedeflediğimiz yıl sonu ortalaması olan $85$'e ulaştık. Bu da çözümümüzün doğru olduğunu gösterir.
Bu durumda, öğrencinin yıl sonu ortalamasının 85 olması için ikinci dönem ortalamasının 90 olması gerekmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
