bölme bölünebilme kuralları tyt örnekleri Test 1

Aşağıdakilerden hangisi kesinlikle 3 ile tam bölünür?

A) n(n+1)(n+2)
B) n(n+1)
C) n^2 + 1
D) n^3
E) 2n

Bir sayının 3 ile tam bölünebilmesi için, o sayının 3'ün bir katı olması gerekir. Bize verilen seçeneklerdeki ifadelerin her $n$ tam sayısı için kesinlikle 3 ile tam bölünüp bölünmediğini kontrol etmeliyiz.

• A) $n(n+1)(n+2)$: Bu ifade, art arda gelen üç tam sayının çarpımını temsil eder. Matematikte önemli bir kural vardır: Art arda gelen üç tam sayıdan mutlaka biri 3'ün katıdır.

  Bunu $n$'nin 3'e bölümünden kalanına göre inceleyelim:

  Eğer $n$ sayısı 3'ün katı ise (yani $n \equiv 0 \pmod 3$), o zaman çarpım $n(n+1)(n+2)$ kesinlikle 3'e bölünür. Örneğin, $n=3$ için $3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$, ve $60$ sayısı $3$'e tam bölünür.

  Eğer $n$ sayısı 3'e bölündüğünde 1 kalanını veriyorsa (yani $n \equiv 1 \pmod 3$), o zaman $n+2$ sayısı 3'ün katı olur ($n+2 \equiv 1+2 \equiv 3 \equiv 0 \pmod 3$). Bu durumda çarpım $n(n+1)(n+2)$ kesinlikle 3'e bölünür. Örneğin, $n=1$ için $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$, ve $6$ sayısı $3$'e tam bölünür.

  Eğer $n$ sayısı 3'e bölündüğünde 2 kalanını veriyorsa (yani $n \equiv 2 \pmod 3$), o zaman $n+1$ sayısı 3'ün katı olur ($n+1 \equiv 2+1 \equiv 3 \equiv 0 \pmod 3$). Bu durumda çarpım $n(n+1)(n+2)$ kesinlikle 3'e bölünür. Örneğin, $n=2$ için $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$, ve $24$ sayısı $3$'e tam bölünür.

  Görüldüğü gibi, $n$ hangi tam sayı olursa olsun, $n$, $n+1$ veya $n+2$ sayılarından biri kesinlikle 3'ün katı olacağı için, bu üç sayının çarpımı olan $n(n+1)(n+2)$ ifadesi her zaman 3 ile tam bölünür.

• B) $n(n+1)$: Bu ifade, art arda gelen iki tam sayının çarpımıdır. Bu çarpım her zaman 2 ile tam bölünür (çünkü sayılardan biri çift olmak zorundadır), ancak her zaman 3 ile tam bölünmez.

  Örneğin, $n=1$ için $1(1+1) = 1 \cdot 2 = 2$. $2$ sayısı $3$ ile tam bölünmez.

  Örneğin, $n=4$ için $4(4+1) = 4 \cdot 5 = 20$. $20$ sayısı $3$ ile tam bölünmez.

  Bu nedenle, bu ifade kesinlikle 3 ile tam bölünmez.

• C) $n^2 + 1$: Bu ifade her zaman 3 ile tam bölünmez.

  Örneğin, $n=1$ için $1^2 + 1 = 1 + 1 = 2$. $2$ sayısı $3$ ile tam bölünmez.

  Örneğin, $n=2$ için $2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$. $5$ sayısı $3$ ile tam bölünmez.

  Örneğin, $n=3$ için $3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$. $10$ sayısı $3$ ile tam bölünmez.

  Bu nedenle, bu ifade kesinlikle 3 ile tam bölünmez.

• D) $n^3$: Bu ifade her zaman 3 ile tam bölünmez. Sadece $n$ sayısı 3'ün katı ise $n^3$ de 3'ün katı olur.

  Örneğin, $n=1$ için $1^3 = 1$. $1$ sayısı $3$ ile tam bölünmez.

  Örneğin, $n=2$ için $2^3 = 8$. $8$ sayısı $3$ ile tam bölünmez.

  Bu nedenle, bu ifade kesinlikle 3 ile tam bölünmez.

• E) $2n$: Bu ifade her zaman 3 ile tam bölünmez. Sadece $n$ sayısı 3'ün katı ise $2n$ de 3'ün katı olur.

  Örneğin, $n=1$ için $2 \cdot 1 = 2$. $2$ sayısı $3$ ile tam bölünmez.

  Örneğin, $n=2$ için $2 \cdot 2 = 4$. $4$ sayısı $3$ ile tam bölünmez.

  Bu nedenle, bu ifade kesinlikle 3 ile tam bölünmez.

Cevap A seçeneğidir.