Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, beş basamaklı bir sayının 15 ile tam bölünebilme şartını kullanarak $x+y$ toplamının alabileceği en büyük değeri bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: 15 ile Bölünebilme Kuralını Anlayalım
- Bir sayı 15 ile tam bölünebiliyorsa, hem 3 ile hem de 5 ile tam bölünmelidir. Çünkü $15 = 3 \times 5$'tir ve 3 ile 5 aralarında asal sayılardır. Bu iki kuralı ayrı ayrı inceleyeceğiz.
- Adım 2: 5 ile Bölünebilme Kuralını Uygulayalım
- Bir sayının 5 ile tam bölünebilmesi için son rakamının ($y$) 0 veya 5 olması gerekir.
- Yani, $y \in \{0, 5\}$ olmalıdır.
- Adım 3: 3 ile Bölünebilme Kuralını Uygulayalım
- Bir sayının 3 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamının 3'ün katı olması gerekir.
- $24x7y$ sayısının rakamları toplamı: $2+4+x+7+y = 13+x+y$.
- Bu toplamın ($13+x+y$) 3'ün bir katı olması gerekmektedir.
- Adım 4: $x+y$ Toplamının Alabileceği En Büyük Değeri Bulalım
- Bizden $x+y$ toplamının en büyük değeri isteniyor. $x$ ve $y$ birer rakam olduğu için $0 \le x \le 9$ ve $0 \le y \le 9$ olmalıdır. Dolayısıyla $x+y$ toplamı en fazla $9+9=18$ olabilir.
- $13+x+y$ ifadesinin 3'ün katı olması gerektiğinden, $x+y$ toplamının alabileceği değerler de belirli bir kurala uymalıdır.
- $13 \equiv 1 \pmod 3$ olduğundan, $13+x+y \equiv 1+x+y \pmod 3$ olur.
- Bu ifadenin 3'ün katı olması için $1+x+y \equiv 0 \pmod 3$ olmalıdır.
- Yani, $x+y \equiv -1 \pmod 3$ veya $x+y \equiv 2 \pmod 3$ olmalıdır.
- $x+y$ toplamının alabileceği olası değerler (0 ile 18 arasında ve 3'e bölümünden kalan 2 olan sayılar): $2, 5, 8, 11, 14, 17$.
- Şimdi, $y \in \{0, 5\}$ şartını da göz önünde bulundurarak bu olası $x+y$ değerlerini en büyükten başlayarak kontrol edelim:
- Durum 1: $x+y = 17$ olabilir mi?
- Eğer $y=0$ ise, $x+0=17 \implies x=17$. Bu mümkün değil, çünkü $x$ bir rakam olmalıdır ($x \le 9$).
- Eğer $y=5$ ise, $x+5=17 \implies x=12$. Bu da mümkün değil, çünkü $x$ bir rakam olmalıdır.
- Yani, $x+y=17$ olamaz.
- Durum 2: $x+y = 14$ olabilir mi?
- Eğer $y=0$ ise, $x+0=14 \implies x=14$. Bu mümkün değil, çünkü $x$ bir rakam olmalıdır.
- Eğer $y=5$ ise, $x+5=14 \implies x=9$. Bu mümkündür! ($x=9$ bir rakamdır).
- Bu durumda $x=9$ ve $y=5$ değerlerini alabiliriz.
- Kontrol edelim: Sayımız $24975$ olur.
- 5 ile bölünür mü? Evet, son rakamı 5.
- 3 ile bölünür mü? Rakamları toplamı $2+4+9+7+5 = 27$. Evet, 27, 3'ün katıdır.
- Hem 3 hem de 5 ile bölündüğü için 15 ile tam bölünür.
- Bu durumda $x+y = 9+5 = 14$ olur.
- $x+y$ için bulduğumuz en büyük geçerli değer 14'tür.
Bu durumda, $x+y$ toplamının alabileceği en büyük değer 14'tür.
Cevap C seçeneğidir.
