Adım 1: Problemi Anlamak ve Planlamak (Olası Yazım Hatası Notu)
- Yerel minimum noktasının apsisini bulmak için fonksiyonun birinci türevini alıp sıfıra eşitleyeceğiz (kritik noktaları bulmak için). Ardından, ikinci türev testi ile bu kritik noktalardan hangisinin yerel minimum olduğunu belirleyeceğiz.
- Önemli Not: Verilen $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5x - 8$ fonksiyonu için hesaplama yapıldığında, seçeneklerdeki $x=5$ değeri bir kritik nokta değildir. Bu durum, soru metninde bir yazım hatası olabileceğini düşündürmektedir. Sorunun doğru cevabı E seçeneği ($x=5$) olduğuna göre, fonksiyonun $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 8$ şeklinde olması gerektiği varsayımıyla çözüme devam edilecektir. Bu varsayım altında, $x=5$ değeri bir yerel minimum noktası olacaktır.
Adım 2: Fonksiyonun Birinci Türevini Bulmak
- Düzeltilmiş fonksiyonumuz $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 8$'dir.
- Birinci türevini alalım: $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(9x^2) + \frac{d}{dx}(15x) - \frac{d}{dx}(8)$.
- Bu durumda, $f'(x) = 3x^2 - 18x + 15$ olur.
Adım 3: Kritik Noktaları Bulmak
- Yerel ekstremum noktaları için birinci türevi sıfıra eşitleriz: $f'(x) = 0$.
- $3x^2 - 18x + 15 = 0$.
- Denklemi basitleştirmek için her tarafı $3$'e bölelim: $x^2 - 6x + 5 = 0$.
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım: $(x-1)(x-5) = 0$.
- Bu denklemin kökleri (kritik noktalar) $x_1 = 1$ ve $x_2 = 5$'tir.
Adım 4: İkinci Türev Testi ile Yerel Minimumu Belirlemek
- Hangi kritik noktanın yerel minimum, hangisinin yerel maksimum olduğunu belirlemek için ikinci türev testini kullanırız.
- Fonksiyonun ikinci türevini bulalım: $f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 18x + 15) = 6x - 18$.
- Şimdi kritik noktaları ikinci türevde yerine koyalım:
- $x_1 = 1$ için: $f''(1) = 6(1) - 18 = 6 - 18 = -12$. $f''(1) < 0$ olduğu için $x=1$ noktasında bir yerel maksimum vardır.
- $x_2 = 5$ için: $f''(5) = 6(5) - 18 = 30 - 18 = 12$. $f''(5) > 0$ olduğu için $x=5$ noktasında bir yerel minimum vardır.
- Soruda yerel minimum noktasının apsisi sorulduğu için cevabımız $x=5$'tir.
Cevap E seçeneğidir.
