Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, köklü ifadeleri üslü ifadelere dönüştürme ve üslü ifadelerde çarpma işlemlerini kullanarak verilen ifadeyi en sade üslü biçimde yazmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- Öncelikle, köklü ifadeleri üslü ifadelere dönüştürme kuralını hatırlayalım: $ \sqrt[n]{x^m} = x^{m/n} $. Bu kuralı her iki köklü ifadeye uygulayacağız.
- İlk ifade $ \sqrt[3]{a^2} $ için $n=3$ ve $m=2$'dir. Bu durumda ifade $ a^{2/3} $ şeklinde yazılır.
- İkinci ifade $ \sqrt{a^3} $ için kökün derecesi yazılmadığında $2$ olduğunu unutmayalım, yani $ \sqrt[2]{a^3} $ demektir. Burada $n=2$ ve $m=3$'tür. Bu durumda ifade $ a^{3/2} $ şeklinde yazılır.
- Şimdi, başlangıçtaki ifadeyi üslü biçimde yazalım: $ a^{2/3} \cdot a^{3/2} $.
- Üslü ifadelerde çarpma kuralını hatırlayalım: Tabanlar aynı ise üsler toplanır. Yani $ x^m \cdot x^n = x^{m+n} $. Bu kuralı uygulayarak üsleri toplayacağız: $ \frac{2}{3} + \frac{3}{2} $.
- Kesirleri toplamak için paydaları eşitlememiz gerekiyor. $3$ ve $2$'nin en küçük ortak katı $6$'dır. İlk kesri $2$ ile, ikinci kesri $3$ ile genişletelim:
- $ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6} $
- $ \frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{9}{6} $
- Şimdi üsleri toplayalım: $ \frac{4}{6} + \frac{9}{6} = \frac{4+9}{6} = \frac{13}{6} $.
- Sonuç olarak, ifadenin üslü biçimi $ a^{13/6} $ olur.
Cevap A seçeneğidir.
