KPSS Matematik: Fonksiyonlar Çıkmış Sorular ve Detaylı Çözümleri Test 1

🎓 KPSS Matematik: Fonksiyonlar Çıkmış Sorular ve Detaylı Çözümleri Test 1 - Ders Notu

Bu ders notu, KPSS Matematik Fonksiyonlar konusunun temel kavramlarını, fonksiyon türlerini, değer bulma, dört işlem ve bileşke/ters fonksiyon gibi başlangıç seviyesi konularını kapsar. Test 1'de karşılaşabileceğiniz soruları çözmek için gerekli anahtar bilgileri sade bir dille özetler.

📌 Fonksiyon Kavramı ve Tanımı

Matematikte fonksiyon, bir kümenin (tanım kümesi) her elemanını, başka bir kümenin (değer kümesi) yalnızca bir elemanına eşleyen özel bir bağıntıdır. Fonksiyonlar genellikle $f(x)$, $g(x)$ gibi sembollerle gösterilir ve $y=f(x)$ şeklinde ifade edilir.

• 📝 Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için iki temel şart vardır:
  • Tanım kümesindeki her elemanın mutlaka bir görüntüsü olmalıdır (açıkta eleman kalmamalı).
  • Tanım kümesindeki her elemanın yalnızca bir görüntüsü olmalıdır (bir eleman iki farklı yere gidemez).
• 💡 İpucu: Bir grafiğin fonksiyon olup olmadığını anlamak için "Dikey Doğru Testi"ni kullanabilirsin. Y eksenine paralel çizdiğin her doğru, grafiği en fazla bir noktada kesiyorsa, o grafik bir fonksiyon grafiğidir.
• Örnek: Bir sınıftaki her öğrencinin (tanım kümesi) tek bir doğum günü (değer kümesi) olması bir fonksiyondur. Ama bir öğrencinin iki farklı doğum günü olamaz.

📌 Tanım Kümesi ve Görüntü Kümesi

Fonksiyonlarda hangi değerlerin kullanılabileceği ve bu değerlerin sonucunda hangi değerlerin elde edileceği büyük önem taşır.

• Tanım Kümesi (Domain): Fonksiyonda yerine yazabileceğimiz tüm $x$ değerlerinin kümesidir. Genellikle $A \to B$ ifadesindeki $A$ kümesidir.
• Değer Kümesi (Codomain): Fonksiyonun sonuçlarının bulunabileceği tüm olası $y$ değerlerinin kümesidir. $A \to B$ ifadesindeki $B$ kümesidir.
• Görüntü Kümesi (Range): Tanım kümesindeki elemanların fonksiyon altındaki gerçek görüntülerinin oluşturduğu kümedir. Değer kümesinin bir alt kümesidir.
• ⚠️ Dikkat:
  • Paydalı ifadelerde paydayı sıfır yapan $x$ değerleri tanım kümesinden çıkarılır. Örneğin, $f(x) = rac{1}{x-3}$ fonksiyonunun tanım kümesinde $x \neq 3$ olmalıdır.
  • Kareköklü ifadelerde kök içi negatif olamaz (gerçek sayılarda). Yani $\sqrt{x-2}$ ifadesinde $x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$ olmalıdır.

📌 Fonksiyonlarda Değer Bulma

Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değerini bulmak, fonksiyonun en temel işlemidir. Fonksiyonun kuralında $x$ yerine istenen değeri yazmaktan ibarettir.

• Eğer $f(x) = 2x+1$ ise, $f(3)$ değerini bulmak için $x$ yerine $3$ yazılır: $f(3) = 2(3)+1 = 7$.
• Bazen $f(x+k)$ gibi ifadeler verilir ve $f(x)$ istenebilir. Bu durumda parantez içindeki ifadeyi $x$'e eşitleyerek (veya tersini alarak) işlem yapılır. Örneğin, $f(x+2) = 3x-1$ ise, $f(x)$'i bulmak için $x+2=a \implies x=a-2$ yazılır ve $f(a) = 3(a-2)-1 = 3a-6-1 = 3a-7$. Yani $f(x)=3x-7$.

📌 Temel Fonksiyon Türleri

Bazı özel fonksiyonlar, belirli kurallara göre tanımlanır ve matematikte sıkça kullanılır.

• Sabit Fonksiyon: Tanım kümesindeki her elemanı değer kümesindeki tek bir elemana eşleyen fonksiyondur. $f(x) = c$ (c bir sabit sayı) şeklinde gösterilir. Örnek: $f(x)=5$.
• Birim (Özdeşlik) Fonksiyon: Tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşleyen fonksiyondur. $I(x) = x$ veya $f(x)=x$ şeklinde gösterilir. Örnek: $f(5)=5$.
• Doğrusal Fonksiyon: Grafiği bir doğru olan fonksiyondur. $f(x) = ax+b$ şeklinde gösterilir ($a, b$ birer gerçek sayı ve $a \neq 0$). Örnek: $f(x)=3x-2$.

📌 Fonksiyonlarda Dört İşlem

İki fonksiyon arasında toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri yapılabilir. Bu işlemler, fonksiyonların ortak tanım kümeleri üzerinde tanımlıdır.

• Toplama: $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$
• Çıkarma: $(f-g)(x) = f(x) - g(x)$
• Çarpma: $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$
• Bölme: $(f/g)(x) = rac{f(x)}{g(x)}$ ($g(x) \neq 0$ olmak üzere)
• 💡 İpucu: İşlem yaparken fonksiyonların tanım kümelerinin kesişim kümesini göz önünde bulundurmayı unutma. Özellikle bölme işleminde paydayı sıfır yapan değerleri çıkarmalısın.

📌 Bileşke Fonksiyon

Bir fonksiyonun çıktısının başka bir fonksiyonun girdisi olarak kullanılmasıyla oluşan fonksiyondur. Sıra çok önemlidir!

• $(f \circ g)(x)$ şeklinde gösterilir ve "$f$ bileşke $g$" diye okunur.
• $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ demektir. Yani önce $g(x)$ hesaplanır, çıkan sonuç $f$ fonksiyonunda yerine yazılır.
• ⚠️ Dikkat: $(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$ genellikle farklı sonuçlar verir. İşlem sırasına çok dikkat etmelisin.
• Örnek: $f(x)=x+1$ ve $g(x)=2x$.
  • $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(2x) = (2x)+1 = 2x+1$.
  • $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x+1) = 2(x+1) = 2x+2$.

📌 Ters Fonksiyon

Bir fonksiyonun tersi, çıktıyı tekrar girdiye dönüştüren fonksiyondur. $f^{-1}(x)$ ile gösterilir.

• Bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için **birebir ve örten** olması gerekir.
• Ters fonksiyon bulma adımları:
  1. $f(x)$ yerine $y$ yazılır: $y = f(x)$.
  2. $x$ yalnız bırakılır, yani $x$, $y$ cinsinden ifade edilir.
  3. $x$ ile $y$'nin yerleri değiştirilir. Elde edilen ifade $f^{-1}(x)$'tir.
• Örnek: $f(x)=2x-3$ fonksiyonunun tersini bulalım.
  • $y = 2x-3$
  • $y+3 = 2x \implies x = rac{y+3}{2}$
  • $f^{-1}(x) = rac{x+3}{2}$
• 💡 İpucu: Bir fonksiyon ile tersinin bileşkesi birim fonksiyonu verir: $(f \circ f^{-1})(x) = (f^{-1} \circ f)(x) = x$.