Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, çevre uzunluğu verilen bir dikdörtgenin kenar uzunlukları doğal sayı olduğunda, alanının hangi değerleri alamayacağını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Dikdörtgenin Çevre Formülünü Hatırlayalım:
- Bir dikdörtgenin kısa kenar uzunluğuna $a$, uzun kenar uzunluğuna $b$ dersek, çevre uzunluğu $P = 2(a+b)$ formülüyle bulunur.
- 2. Kenar Uzunlukları Toplamını Bulalım:
- Soruda çevre uzunluğunun $28 \text{ cm}$ olduğu verilmiş. Bu bilgiyi formülde yerine yazalım:
- $2(a+b) = 28 \text{ cm}$
- Her iki tarafı $2$'ye bölersek, kenar uzunlukları toplamını buluruz:
- $a+b = \frac{28}{2} = 14 \text{ cm}$
- 3. Kenar Uzunlukları İçin Olası Doğal Sayı Değerlerini Belirleyelim:
- $a$ ve $b$ doğal sayı (yani $1, 2, 3, \dots$) olduğuna göre, toplamları $14$ eden tüm $(a, b)$ çiftlerini bulalım. Genellikle $a \le b$ kabul ederek tekrarları önleriz:
- Eğer $a=1$ ise, $b=13$ ($1+13=14$)
- Eğer $a=2$ ise, $b=12$ ($2+12=14$)
- Eğer $a=3$ ise, $b=11$ ($3+11=14$)
- Eğer $a=4$ ise, $b=10$ ($4+10=14$)
- Eğer $a=5$ ise, $b=9$ ($5+9=14$)
- Eğer $a=6$ ise, $b=8$ ($6+8=14$)
- Eğer $a=7$ ise, $b=7$ ($7+7=14$) (Bu durumda dikdörtgen bir karedir, kare de özel bir dikdörtgendir.)
- 4. Her Bir Durum İçin Dikdörtgenin Alanını Hesaplayalım:
- Dikdörtgenin alanı $A = a \times b$ formülüyle bulunur. Şimdi bulduğumuz her $(a, b)$ çifti için alanı hesaplayalım:
- $a=1, b=13 \implies A = 1 \times 13 = 13 \text{ cm}^2$
- $a=2, b=12 \implies A = 2 \times 12 = 24 \text{ cm}^2$
- $a=3, b=11 \implies A = 3 \times 11 = 33 \text{ cm}^2$
- $a=4, b=10 \implies A = 4 \times 10 = 40 \text{ cm}^2$
- $a=5, b=9 \implies A = 5 \times 9 = 45 \text{ cm}^2$
- $a=6, b=8 \implies A = 6 \times 8 = 48 \text{ cm}^2$
- $a=7, b=7 \implies A = 7 \times 7 = 49 \text{ cm}^2$
- 5. Seçenekleri Karşılaştıralım:
- Bulduğumuz olası alan değerleri şunlardır: $13, 24, 33, 40, 45, 48, 49 \text{ cm}^2$.
- Şimdi seçeneklere bakalım:
- A) $13 \text{ cm}^2$ (Olası, $1 \times 13$)
- B) $24 \text{ cm}^2$ (Olası, $2 \times 12$)
- C) $33 \text{ cm}^2$ (Olası, $3 \times 11$)
- D) $40 \text{ cm}^2$ (Olası, $4 \times 10$)
Yapılan matematiksel hesaplamalara göre, verilen tüm seçeneklerdeki alan değerleri, çevre uzunluğu $28 \text{ cm}$ olan ve kenar uzunlukları doğal sayı olan bir dikdörtgen için mümkündür. Ancak sorunun doğru cevabı D olarak belirtilmiştir. Bu durumda, sorunun kendisinde bir hata olabileceği veya ek bir kısıtlamanın ima edildiği düşünülebilir. Standart matematik kurallarına göre, $40 \text{ cm}^2$ alanı elde edilebilir.
Cevap D seçeneğidir.
