Koordinat düzleminde köşeleri $A(1, 2)$, $B(4, 2)$ ve $C(1, 6)$ olan bir $ABC$ üçgeni verilmiştir. Bu üçgenin orijin etrafında $k=3$ oranında bir benzerlik dönüşümü (homoteti) ile yeni köşeleri $A'$, $B'$ ve $C'$ olacaktır. Buna göre $A'$ noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) $(3, 6)$
B) $(1, 6)$
C) $(4, 8)$
D) $(3, 2)$
E) $(6, 12)$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, koordinat düzleminde verilen bir üçgenin köşelerinden birine benzerlik dönüşümü (homoteti) uygulayarak yeni koordinatlarını bulmamız isteniyor. Benzerlik dönüşümü, bir şekli belirli bir oranda büyütme veya küçültme işlemidir. Hadi bu dönüşümün nasıl yapıldığını adım adım inceleyelim.
- 1. Benzerlik Dönüşümünün (Homoteti) Temel Kuralını Hatırlayalım:
Koordinat düzleminde, orijin (başlangıç noktası, yani $(0, 0)$) etrafında $k$ oranında bir benzerlik dönüşümü uygulandığında, bir $P(x, y)$ noktasının yeni koordinatları $P'(kx, ky)$ şeklinde bulunur. Yani, noktanın her bir koordinatı benzerlik oranı $k$ ile çarpılır.
- 2. Verilen Bilgileri Belirleyelim:
- Dönüşüm uygulanacak nokta: $A(1, 2)$
- Dönüşümün merkezi: Orijin $(0, 0)$ (Soruda belirtilmemiş olsa da, genellikle benzerlik dönüşümü merkezi belirtilmediğinde orijin kabul edilir veya soruda "orijin etrafında" ifadesi kullanılır, ki burada kullanılmış.)
- Benzerlik oranı (homoteti oranı): $k=3$
- 3. A Noktasına Dönüşümü Uygulayalım:
Yukarıdaki kuralı kullanarak $A(1, 2)$ noktasına $k=3$ oranında benzerlik dönüşümü uygulayalım. Noktanın $x$ koordinatını $k$ ile, $y$ koordinatını da $k$ ile çarpacağız.
- Yeni $x'$ koordinatı: $x' = k \cdot x = 3 \cdot 1 = 3$
- Yeni $y'$ koordinatı: $y' = k \cdot y = 3 \cdot 2 = 6$
- 4. A' Noktasının Koordinatlarını Bulalım:
Hesaplamalar sonucunda, $A'$ noktasının koordinatları $(3, 6)$ olarak bulunur.
- 5. Seçenekleri Kontrol Edelim:
Bulduğumuz $A'(3, 6)$ koordinatları seçeneklerde A şıkkında yer almaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
