9. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 2. senaryo Test 1

Bir binanın yüksekliğini ölçmek isteyen bir öğrenci, binadan $20$ metre uzaklıkta yere bir ayna koyuyor. Öğrenci, aynadan $4$ metre uzakta durduğunda aynadan binanın en üst noktasını görebiliyor. Eğer öğrencinin göz hizası yerden $1.6$ metre yükseklikte ise, binanın yüksekliği kaç metredir? (Öğrenci ve bina yere diktir.)

A) $6$

B) $8$

C) $10$

D) $12$

E) $14$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problem, ışığın yansıması prensibi ve benzer üçgenler kavramını bir araya getiren klasik bir geometri sorusudur. Aynadan yansıyan ışık, geliş açısı yansıma açısına eşit olacak şekilde hareket eder. Bu durum, iki dik üçgenin benzer olmasını sağlar. Şimdi adım adım bu soruyu çözelim:

• Problemi Anlayalım ve Şekillendirelim:

  Bir binanın yüksekliğini ($H_b$) bulmak istiyoruz. Öğrencinin göz hizası ($H_ö$) $1.6$ metredir. Ayna, binadan $20$ metre ($D_b$) ve öğrenciden $4$ metre ($D_ö$) uzaklıktadır. Öğrenci, aynadan binanın tepesini görebiliyorsa, ışık binanın tepesinden aynaya, oradan da öğrencinin gözüne ulaşmıştır.

  Bu durumu bir çizimle hayal ettiğimizde, iki dik üçgen oluşur:

  • Birinci üçgen: Binanın yüksekliği, binanın aynaya olan uzaklığı ve binanın tepesinden aynaya gelen ışık yolu.
  • İkinci üçgen: Öğrencinin göz hizası, öğrencinin aynaya olan uzaklığı ve aynadan öğrencinin gözüne gelen ışık yolu.

  Işığın yansıma kanununa göre, aynaya düşme açısı ile aynadan yansıma açısı birbirine eşittir. Bu da, oluşan bu iki dik üçgenin benzer olduğunu gösterir (Açı-Açı benzerliği).

• Verilenleri Listeleyelim:
  • Öğrencinin göz hizası ($H_ö$) = $1.6$ metre
  • Binanın aynaya uzaklığı ($D_b$) = $20$ metre
  • Öğrencinin aynaya uzaklığı ($D_ö$) = $4$ metre
  • Binanın yüksekliği ($H_b$) = ? (Aradığımız değer)
• Benzer Üçgen Oranlarını Kuralım:

  Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir. Bu durumda:

  $\frac{\text{Binanın Yüksekliği (H_b)}}{\text{Öğrencinin Göz Hizası (H_ö)}} = \frac{\text{Binanın Aynaya Uzaklığı (D_b)}}{\text{Öğrencinin Aynaya Uzaklığı (D_ö)}}$

  Matematiksel olarak ifade edersek:

  $\frac{H_b}{H_ö} = \frac{D_b}{D_ö}$

• Değerleri Yerine Koyalım ve Çözelim:

  Şimdi verilen değerleri formülde yerine koyalım:

  $\frac{H_b}{1.6} = \frac{20}{4}$

  Önce sağ taraftaki oranı sadeleştirelim:

  $\frac{H_b}{1.6} = 5$

  Şimdi $H_b$ değerini bulmak için her iki tarafı $1.6$ ile çarpalım:

  $H_b = 5 \times 1.6$

  $H_b = 8$ metre

Buna göre, binanın yüksekliği $8$ metredir.

Cevap B seçeneğidir.