Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türevinin değerini, türev tanımını kullanarak nasıl hesaplayacağımızı adım adım göreceğiz. Türev tanımı, bir fonksiyonun bir noktadaki anlık değişim oranını bulmamızı sağlayan güçlü bir araçtır. Hazırsanız başlayalım!
- Adım 1: Türev Tanımını Hatırlayalım
- Bir $f(x)$ fonksiyonunun $x=a$ noktasındaki türevi, $f'(a)$, aşağıdaki limit tanımıyla verilir:
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
Bu tanım, $x=a$ noktasındaki teğetin eğimini veya anlık değişim oranını bulmamızı sağlar.
- Adım 2: Fonksiyonu ve Noktayı Belirleyelim
- Bize verilen fonksiyon $f(x) = x^2+3x$ ve türevinin hesaplanması istenen nokta $x=2$'dir. Yani, $a=2$ alacağız.
- Adım 3: $f(a)$ ve $f(a+h)$ İfadelerini Hesaplayalım
- Öncelikle $f(a)$ değerini bulalım:
$f(a) = f(2) = (2)^2 + 3(2) = 4 + 6 = 10$.
- Şimdi de $f(a+h)$ ifadesini bulalım. $a=2$ olduğu için $f(2+h)$'i hesaplayacağız:
$f(2+h) = (2+h)^2 + 3(2+h)$.
- Adım 4: $f(2+h)$ İfadesini Açalım ve Düzenleyelim
- Parantezleri açalım:
$(2+h)^2 = 2^2 + 2(2)(h) + h^2 = 4 + 4h + h^2$
$3(2+h) = 6 + 3h$
- Şimdi bu ifadeleri toplayalım:
$f(2+h) = (4 + 4h + h^2) + (6 + 3h) = h^2 + 7h + 10$.
- Adım 5: Türev Tanımındaki Yerine Koyalım
- Bulduğumuz $f(2+h)$ ve $f(2)$ değerlerini türev tanımı formülünde yerine yazalım:
$$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{(h^2 + 7h + 10) - 10}{h}$$
- Adım 6: İfadeyi Sadeleştirelim
- Pay kısmındaki $+10$ ve $-10$ birbirini götürür:
$$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 + 7h}{h}$$
Pay kısmını $h$ parantezine alabiliriz:
$$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{h(h + 7)}{h}$$
$h \to 0$ olduğu için $h \neq 0$ kabul edebiliriz ve pay ile paydadaki $h$'leri sadeleştirebiliriz:
$$f'(2) = \lim_{h \to 0} (h + 7)$$
- Adım 7: Limiti Hesaplayalım
- Şimdi $h$ yerine $0$ yazarak limiti hesaplayalım:
$$f'(2) = 0 + 7 = 7$$
Böylece, $f(x) = x^2+3x$ fonksiyonunun $x=2$ noktasındaki türevinin değerini türev tanımını kullanarak $7$ olarak bulmuş olduk.
Cevap C seçeneğidir.
