Bir fonksiyonun yerel maksimum veya minimum noktalarını bulmak için türev alma yöntemlerini kullanırız. İşte adım adım çözüm:
- Adım 1: Fonksiyonun Birinci Türevini Bulma
- Verilen fonksiyon $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$'dir. Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için öncelikle birinci türevini almamız gerekir.
- $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2)$
- $f'(x) = 3x^2 - 3 \cdot 2x + 0$
- $f'(x) = 3x^2 - 6x$
- Adım 2: Kritik Noktaları Bulma
- Yerel maksimum veya minimum noktaların $x$ koordinatlarını bulmak için birinci türevi sıfıra eşitleriz. Bu noktalara kritik noktalar denir.
- $3x^2 - 6x = 0$
- Ortak çarpan olan $3x$'i parantez dışına alalım:
- $3x(x - 2) = 0$
- Bu denklemi sağlayan $x$ değerleri:
- $3x = 0 \Rightarrow x = 0$
- $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
- Yani, kritik noktalarımız $x=0$ ve $x=2$'dir.
- Adım 3: Fonksiyonun İkinci Türevini Bulma
- Bir noktanın yerel maksimum mu yoksa yerel minimum mu olduğunu belirlemek için ikinci türev testini kullanabiliriz. Bunun için birinci türevin tekrar türevini alırız.
- $f'(x) = 3x^2 - 6x$
- $f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x)$
- $f''(x) = 3 \cdot 2x - 6$
- $f''(x) = 6x - 6$
- Adım 4: İkinci Türev Testini Uygulama
- Bulduğumuz kritik noktaları ($x=0$ ve $x=2$) ikinci türevde yerine koyarak işaretlerini inceleriz:
- Eğer $f''(x) < 0$ ise o noktada yerel maksimum vardır.
- Eğer $f''(x) > 0$ ise o noktada yerel minimum vardır.
- $x=0$ için:
- $f''(0) = 6(0) - 6 = -6$
- $f''(0) = -6 < 0$ olduğu için $x=0$ noktasında bir yerel maksimum vardır.
- $x=2$ için:
- $f''(2) = 6(2) - 6 = 12 - 6 = 6$
- $f''(2) = 6 > 0$ olduğu için $x=2$ noktasında bir yerel minimum vardır.
- Adım 5: Yerel Maksimum Noktasının Ordinatını (y-değerini) Bulma
- Soru bizden yerel maksimum noktasının ordinatını (y-değerini) istediği için, yerel maksimumun $x$ koordinatı olan $x=0$'ı orijinal $f(x)$ fonksiyonunda yerine koyarız.
- $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$
- $f(0) = (0)^3 - 3(0)^2 + 2$
- $f(0) = 0 - 0 + 2$
- $f(0) = 2$
- Buna göre, yerel maksimum noktasının ordinatı $2$'dir.
Cevap C seçeneğidir.
