Bir fonksiyonun artan olduğu aralıkları bulmak için, o fonksiyonun birinci türevini alıp türevin pozitif olduğu yerleri incelememiz gerekir. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Fonksiyonun Birinci Türevini Bulma
- Verilen fonksiyon $f(x) = x^4 - 4x^3$'tür. Bu fonksiyonun birinci türevini alalım. Türev kurallarını hatırlarsak, $x^n$'nin türevi $nx^{n-1}$'dir.
- $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 4x^3)$
- $f'(x) = 4x^{4-1} - 4 \cdot 3x^{3-1}$
- $f'(x) = 4x^3 - 12x^2$
- Adım 2: Türevin Sıfır Olduğu Noktaları (Kritik Noktaları) Bulma
- Bir fonksiyonun artan veya azalan davranışının değiştiği noktalar genellikle türevin sıfır olduğu noktalardır. Bu noktalara kritik noktalar denir. Türevi sıfıra eşitleyelim:
- $4x^3 - 12x^2 = 0$
- Ortak çarpan olan $4x^2$'yi dışarı alalım:
- $4x^2(x - 3) = 0$
- Bu denklemi çözdüğümüzde iki olası durum vardır:
- $4x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$
- $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
- Yani kritik noktalarımız $x=0$ ve $x=3$'tür.
- Adım 3: Türevin İşaretini İnceleme (İşaret Tablosu Oluşturma)
- Kritik noktalar, sayı doğrusunu belirli aralıklara böler. Bu aralıklarda türevin işaretini inceleyerek fonksiyonun artan mı yoksa azalan mı olduğunu belirleyebiliriz.
- Aralıklar: $(-\infty, 0)$, $(0, 3)$, $(3, \infty)$
- Her aralıktan bir test değeri seçip $f'(x)$'in işaretini bulalım:
- Aralık $(-\infty, 0)$ için: $x = -1$ seçelim.
- $f'(-1) = 4(-1)^2(-1 - 3) = 4(1)(-4) = -16$. İşaret negatiftir. Bu aralıkta fonksiyon azalandır.
- Aralık $(0, 3)$ için: $x = 1$ seçelim.
- $f'(1) = 4(1)^2(1 - 3) = 4(1)(-2) = -8$. İşaret negatiftir. Bu aralıkta fonksiyon azalandır.
- Aralık $(3, \infty)$ için: $x = 4$ seçelim.
- $f'(4) = 4(4)^2(4 - 3) = 4(16)(1) = 64$. İşaret pozitiftir. Bu aralıkta fonksiyon artandır.
- Adım 4: Sonucu Belirleme
- Fonksiyonun artan olduğu aralık, birinci türevin pozitif olduğu aralıktır. Yaptığımız incelemeye göre, $f'(x) > 0$ olduğu aralık $(3, \infty)$'dur.
Cevap C seçeneğidir.
