$f(x) = x^2+3x$ fonksiyonunun $x=2$ noktasındaki türevi aşağıdaki limit ifadelerinden hangisine eşittir?
A) $\lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^2 - 2^2}{h}$
B) $\lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^2+3(2+h) - (x^2+3x)}{h}$
C) $\lim_{x \to 2} \frac{(x^2+3x) - (2^2+3 \cdot 2)}{x-2}$
D) $\lim_{x \to 2} \frac{(x^2+3x) - (x^2+3x)}{x-2}$
E) $\lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^2+3(2+h)}{h}$
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türevinin limit tanımını hatırlamamız gerekiyor. Türev, bir fonksiyonun bir noktadaki anlık değişim oranını ifade eder ve limit kavramı kullanılarak tanımlanır.
- Türevin Tanımı: Bir $f(x)$ fonksiyonunun $x=a$ noktasındaki türevi, $f'(a)$ ile gösterilir ve iki farklı limit ifadesiyle tanımlanabilir:
- Birinci Tanım: $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$
- İkinci Tanım: $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$
- Verilen Fonksiyon ve Nokta: Soruda bize verilen fonksiyon $f(x) = x^2+3x$ ve türevinin bulunması istenen nokta $x=2$'dir. Yani, $a=2$ alacağız.
- İkinci Tanımı Uygulayalım: Seçeneklere baktığımızda, $x \to a$ formundaki limit ifadelerinin de bulunduğunu görüyoruz. Bu tanımı kullanarak $f'(2)$ ifadesini yazalım:
- $f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x-2}$
- Şimdi $f(x)$ ve $f(2)$ değerlerini yerine koyalım:
- $f(x) = x^2+3x$
- $f(2) = 2^2 + 3 \cdot 2 = 4 + 6 = 10$
- Bu değerleri limit ifadesinde yerine yazarsak:
- $f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{(x^2+3x) - (2^2+3 \cdot 2)}{x-2}$
- Bu ifade, seçeneklerdeki C seçeneği ile birebir uyuşmaktadır.
- Diğer Seçenekleri İnceleyelim:
- A) $\lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^2 - 2^2}{h}$: Bu ifade sadece $x^2$ kısmının türevini temsil eder, $3x$ terimi eksiktir.
- B) $\lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^2+3(2+h) - (x^2+3x)}{h}$: Bu ifadede $f(a)$ yerine $f(x)$ yazılmıştır, bu da yanlıştır. Payda $f(a+h) - f(a)$ olmalıdır.
- D) $\lim_{x \to 2} \frac{(x^2+3x) - (x^2+3x)}{x-2}$: Pay kısmı $0$ olur, bu da türevi vermez.
- E) $\lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^2+3(2+h)}{h}$: Bu ifadede $f(a)$ yani $f(2)$ terimi çıkarılmamıştır. Payda $f(a+h) - f(a)$ olmalıdır.
Bu adımları takip ettiğimizde, doğru limit ifadesinin C seçeneğinde verildiğini açıkça görmekteyiz.
Cevap C seçeneğidir.
