Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, çarpım kuralı ve zincir kuralını kullanarak bir fonksiyonun türevini nasıl alacağımızı adım adım öğreneceğiz. Fonksiyonumuz $f(x) = x^2 \cdot (x-2)^3$. Hazırsanız başlayalım!
Verilen fonksiyon $f(x) = x^2 \cdot (x-2)^3$ iki ayrı fonksiyonun çarpımı şeklindedir. Bu tür fonksiyonların türevini almak için çarpım kuralını kullanırız. Çarpım kuralı şöyledir: Eğer $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ ise, $f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$ olur.
Burada $u(x) = x^2$ ve $v(x) = (x-2)^3$ olarak düşünebiliriz.
$u(x) = x^2$ fonksiyonunun türevi, temel türev kurallarından biri olan kuvvet kuralı ile bulunur: $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$.
Bu durumda $u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x^{2-1} = 2x$ olur.
$v(x) = (x-2)^3$ fonksiyonunun türevini almak için zincir kuralını kullanmamız gerekir. Zincir kuralı şöyledir: Eğer $y = [g(x)]^n$ ise, $y' = n[g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$ olur.
Burada $g(x) = x-2$ ve $n=3$'tür.
Önce $g(x)$'in türevini bulalım: $g'(x) = \frac{d}{dx}(x-2) = 1 - 0 = 1$.
Şimdi zincir kuralını uygulayalım: $v'(x) = 3(x-2)^{3-1} \cdot (1) = 3(x-2)^2$.
Şimdi $u(x)$, $u'(x)$, $v(x)$ ve $v'(x)$ değerlerini çarpım kuralı formülüne yerleştirelim:
$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
$f'(x) = (2x) \cdot (x-2)^3 + (x^2) \cdot (3(x-2)^2)$
$f'(x) = 2x(x-2)^3 + 3x^2(x-2)^2$
Bulduğumuz türev ifadesini seçeneklerdeki formata uydurmak için ortak çarpan parantezine alalım. İfadede $x$ ve $(x-2)^2$ ortak çarpanlardır.
$f'(x) = x(x-2)^2 [2(x-2) + 3x]$
Köşeli parantezin içindeki ifadeyi düzenleyelim:
$2(x-2) + 3x = 2x - 4 + 3x = 5x - 4$
Bu durumda türev ifademiz şuna dönüşür:
$f'(x) = x(x-2)^2 (5x - 4)$
Bu ifadeyi biraz daha düzenlersek:
$f'(x) = (x-2)^2 \cdot x(5x - 4)$
$f'(x) = (x-2)^2 (5x^2 - 4x)$
Elde ettiğimiz son ifadeyi seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneği ile tamamen eşleştiğini görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
