Aşağıda $y=f(x)$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi
YANLIŞTIR?
A) $\lim_{x \to -2^-} f(x) = 3$
B) $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1$
C) $\lim_{x \to 1} f(x) = 1$
D) $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 2$
E) $\lim_{x \to -2} f(x) = 1$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, verilen $y=f(x)$ fonksiyonunun grafiğini kullanarak limit değerlerini inceleyeceğiz ve hangi ifadenin yanlış olduğunu bulacağız. Limit kavramını hatırlayalım: Bir noktadaki limitin var olması için o noktaya hem soldan hem de sağdan yaklaşıldığında fonksiyonun aynı değere yaklaşması gerekir.
- A) $\lim_{x \to -2^-} f(x) = 3$ ifadesini inceleyelim:
- Bu ifade, $x$ değeri $-2$'ye soldan (yani $-2$'den küçük değerlerle) yaklaşırken $f(x)$ fonksiyonunun hangi değere yaklaştığını soruyor.
- Grafiğe baktığımızda, $x$ ekseni üzerinde $-2$ noktasının sol tarafından fonksiyona doğru ilerlediğimizde, fonksiyonun $y$ değerlerinin $3$'e yaklaştığını görürüz.
- Bu nedenle, $\lim_{x \to -2^-} f(x) = 3$ ifadesi DOĞRUDUR.
- B) $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1$ ifadesini inceleyelim:
- Bu ifade, $x$ değeri $1$'e sağdan (yani $1$'den büyük değerlerle) yaklaşırken $f(x)$ fonksiyonunun hangi değere yaklaştığını soruyor.
- Grafiğe baktığımızda, $x$ ekseni üzerinde $1$ noktasının sağ tarafından fonksiyona doğru ilerlediğimizde, fonksiyonun $y$ değerlerinin $1$'e yaklaştığını görürüz.
- Bu nedenle, $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1$ ifadesi DOĞRUDUR.
- C) $\lim_{x \to 1} f(x) = 1$ ifadesini inceleyelim:
- Bir noktada limitin var olması için sol ve sağ limitlerin eşit olması gerekir.
- B seçeneğinde $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1$ olduğunu bulmuştuk.
- Şimdi $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ değerine bakalım. $x$ değeri $1$'e soldan (yani $1$'den küçük değerlerle) yaklaşırken grafiğe baktığımızda, fonksiyonun $y$ değerlerinin $1$'e yaklaştığını görürüz. Yani $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1$.
- Sol limit ($1$) ve sağ limit ($1$) birbirine eşit olduğu için, $\lim_{x \to 1} f(x) = 1$ ifadesi DOĞRUDUR.
- D) $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 2$ ifadesini inceleyelim:
- Bu ifade, $x$ değeri $3$'e sağdan (yani $3$'ten büyük değerlerle) yaklaşırken $f(x)$ fonksiyonunun hangi değere yaklaştığını soruyor.
- Grafiğe baktığımızda, $x$ ekseni üzerinde $3$ noktasının sağ tarafından fonksiyona doğru ilerlediğimizde, fonksiyonun $y$ değerlerinin $2$'ye yaklaştığını görürüz.
- Bu nedenle, $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 2$ ifadesi DOĞRUDUR.
- E) $\lim_{x \to -2} f(x) = 1$ ifadesini inceleyelim:
- Bir noktada limitin var olması için sol ve sağ limitlerin eşit olması gerekir.
- A seçeneğinde $\lim_{x \to -2^-} f(x) = 3$ olduğunu bulmuştuk.
- Şimdi $\lim_{x \to -2^+} f(x)$ değerine bakalım. $x$ değeri $-2$'ye sağdan (yani $-2$'den büyük değerlerle) yaklaşırken grafiğe baktığımızda, fonksiyonun $y$ değerlerinin $1$'e yaklaştığını görürüz. Yani $\lim_{x \to -2^+} f(x) = 1$.
- Sol limit ($3$) ve sağ limit ($1$) birbirine eşit değildir ($3 \neq 1$). Bu durumda $x=-2$ noktasında limit yoktur.
- Dolayısıyla, $\lim_{x \to -2} f(x) = 1$ ifadesi YANLIŞTIR, çünkü bu noktada limit yoktur.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, E seçeneğindeki ifadenin yanlış olduğunu görmüş olduk.
Cevap E seçeneğidir.
