12. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 4. senaryo Test 1

$f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$ fonksiyonu için $f'(2)$ değeri kaçtır?

A) -2

B) -1

D) 1

E) 2

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, bir fonksiyonun türevini alıp belirli bir noktadaki değerini bulma sorusunu adım adım çözeceğiz. Fonksiyonumuz $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$ ve bizden $f'(2)$ değeri isteniyor.

• Adım 1: Fonksiyonu Tanımlama ve Kullanılacak Kuralı Belirleme

  Verilen fonksiyon $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$ bir bölüm şeklindedir. Bu tür fonksiyonların türevini almak için Bölüm Türevi Kuralı'nı kullanmamız gerekir.

• Adım 2: Bölüm Türevi Kuralını Hatırlama

  Eğer bir fonksiyon $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$ şeklinde ise, türevi $f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}$ formülü ile bulunur.

• Adım 3: $g(x)$ ve $h(x)$ Fonksiyonlarını ve Türevlerini Bulma

  Fonksiyonumuzda $g(x) = x^2 + 1$ ve $h(x) = x - 1$ olarak belirleyelim.

  • $g(x)$'in türevi: $g'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x$
  • $h(x)$'in türevi: $h'(x) = \frac{d}{dx}(x - 1) = 1$
• Adım 4: Bölüm Türevi Kuralını Uygulama

  Şimdi bulduğumuz bu ifadeleri Bölüm Türevi Kuralı formülüne yerleştirelim:

  $f'(x) = \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2}$

• Adım 5: Türev İfadesini Sadeleştirme

  Türev ifadesini daha basit bir hale getirelim:

  $f'(x) = \frac{2x^2 - 2x - (x^2 + 1)}{(x - 1)^2}$

  $f'(x) = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x - 1)^2}$

  $f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}$

• Adım 6: $x=2$ Değerini Türev Fonksiyonuna Yerleştirme

  Bizden $f'(2)$ değeri istendiği için, bulduğumuz $f'(x)$ ifadesinde $x$ yerine $2$ yazalım:

  $f'(2) = \frac{(2)^2 - 2(2) - 1}{(2 - 1)^2}$

• Adım 7: Hesaplamayı Tamamlama

  Şimdi bu ifadeyi hesaplayalım:

  $f'(2) = \frac{4 - 4 - 1}{(1)^2}$

  $f'(2) = \frac{-1}{1}$

  $f'(2) = -1$

Böylece $f'(2)$ değerini $-1$ olarak bulmuş olduk.

Cevap B seçeneğidir.