12. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 8. senaryo meb Test 1

Gerçel sayılarda tanımlı bir $f$ fonksiyonu,
$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x - 2} & \text{eğer } x \neq 2 \\ k & \text{eğer } x = 2 \end{cases}$
şeklinde verilmiştir.
$f$ fonksiyonunun $x = 2$ noktasında sürekli olması için $k$ değeri kaç olmalıdır?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Bir fonksiyonun belirli bir noktada sürekli olabilmesi için üç temel şartı sağlaması gerekir. Bu şartlar şunlardır:

• Fonksiyonun o noktadaki değeri tanımlı olmalıdır. Yani $f(a)$ mevcut olmalıdır.
• Fonksiyonun o noktadaki limiti mevcut olmalıdır. Yani $\lim_{x \to a} f(x)$ mevcut olmalıdır.
• Fonksiyonun o noktadaki değeri ile limiti birbirine eşit olmalıdır. Yani $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ olmalıdır.

Şimdi bu şartları $f$ fonksiyonu ve $x=2$ noktası için adım adım uygulayalım:

• Adım 1: $f(2)$ değerini belirleyelim.

  Fonksiyonun tanımına göre, $x=2$ olduğunda $f(x) = k$ olarak verilmiştir. Dolayısıyla, $f(2) = k$ olur. Bu değerin tanımlı olması için $k$ bir gerçel sayı olmalıdır.

• Adım 2: $\lim_{x \to 2} f(x)$ limitini hesaplayalım.

  Limit hesaplarken $x$ değeri $2$'ye yaklaşıyor, ancak $x$ tam olarak $2$ değildir. Bu yüzden fonksiyonun $x \neq 2$ durumundaki tanımını kullanırız: $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$.

  Şimdi limiti hesaplayalım:

  $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

  Eğer $x=2$ değerini doğrudan yerine koyarsak, $\frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}$ belirsizliğini elde ederiz. Bu belirsizliği gidermek için pay kısmını çarpanlarına ayıralım. $x^2 - 4$ ifadesi iki kare farkı özdeşliğidir ve $(x-2)(x+2)$ şeklinde yazılabilir.

  $\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$

  $x \neq 2$ olduğu için $(x-2)$ terimini pay ve paydadan sadeleştirebiliriz:

  $\lim_{x \to 2} (x + 2)$

  Şimdi $x=2$ değerini yerine koyarak limiti hesaplayabiliriz:

  $2 + 2 = 4$

  Yani, $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ olur.

• Adım 3: Süreklilik şartını uygulayarak $k$ değerini bulalım.

  Fonksiyonun $x=2$ noktasında sürekli olması için $f(2)$ değeri ile $\lim_{x \to 2} f(x)$ değeri birbirine eşit olmalıdır:

  $f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)$

  $k = 4$

  Bu durumda, $f$ fonksiyonunun $x=2$ noktasında sürekli olması için $k$ değeri $4$ olmalıdır.

Cevap D seçeneğidir.