Bir fonksiyonun azalan olduğu aralığı bulmak için, o fonksiyonun birinci türevinin negatif olduğu aralıkları belirlememiz gerekir. Yani $f'(x) < 0$ eşitsizliğini çözmeliyiz.
Verilen fonksiyon $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5$.
Türev kurallarını kullanarak $f'(x)$'i bulalım:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(6x^2) + \frac{d}{dx}(5)$
$f'(x) = 3x^2 - 6 \cdot 2x + 0$
$f'(x) = 3x^2 - 12x$
Kritik noktalar, türevin sıfır olduğu veya tanımsız olduğu noktalardır. Bu durumda türev her yerde tanımlıdır, bu yüzden $f'(x) = 0$ denklemini çözmeliyiz:
$3x^2 - 12x = 0$
Denklemi çarpanlarına ayıralım:
$3x(x - 4) = 0$
Bu denklemin çözümleri bize kritik noktaları verir:
$3x = 0 \implies x = 0$
$x - 4 = 0 \implies x = 4$
Bu kritik noktalar ($x=0$ ve $x=4$), sayı doğrusunu $(-\infty, 0)$, $(0, 4)$ ve $(4, \infty)$ olmak üzere üç aralığa ayırır.
Her aralıktan bir test değeri seçerek $f'(x)$'in işaretini belirleyelim:
Bir test değeri seçelim, örneğin $x = -1$.
$f'(-1) = 3(-1)^2 - 12(-1) = 3(1) + 12 = 3 + 12 = 15$.
$f'(-1) = 15 > 0$. Bu aralıkta fonksiyon artandır.
Bir test değeri seçelim, örneğin $x = 1$.
$f'(1) = 3(1)^2 - 12(1) = 3 - 12 = -9$.
$f'(1) = -9 < 0$. Bu aralıkta fonksiyon azalandır.
Bir test değeri seçelim, örneğin $x = 5$.
$f'(5) = 3(5)^2 - 12(5) = 3(25) - 60 = 75 - 60 = 15$.
$f'(5) = 15 > 0$. Bu aralıkta fonksiyon artandır.
Yukarıdaki incelemeye göre, $f'(x)$'in negatif olduğu aralık $(0, 4)$'tür. Bu nedenle fonksiyon bu aralıkta azalandır.
Cevap B seçeneğidir.
