Gerçel sayılar kümesinde tanımlı $f$ fonksiyonu,
$f(x) = \begin{cases} ax^2-1, & x < 1 \\ 3x+a, & x \ge 1 \end{cases}$
biçiminde verilmiştir.
$f(x)$ fonksiyonu $x=1$ noktasında sürekli olduğuna göre, $a$ değeri kaçtır?
A) $1$
B) $2$
C) $3$
D) $4$
E) $5$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, parçalı tanımlı bir fonksiyonun belirli bir noktada sürekli olması için bilinmeyen bir katsayının ($a$) değerini bulmamız isteniyor. Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması ne anlama gelir, adım adım inceleyelim.
- 1. Süreklilik Tanımı: Bir $f(x)$ fonksiyonunun $x=c$ noktasında sürekli olabilmesi için üç temel şartı sağlaması gerekir:
- $f(c)$ tanımlı olmalıdır (fonksiyonun o noktada bir değeri olmalı).
- $\lim_{x \to c^-} f(x)$ (sol limit) ve $\lim_{x \to c^+} f(x)$ (sağ limit) limitleri var olmalı ve birbirine eşit olmalıdır (yani fonksiyonun o noktadaki limiti var olmalı).
- $f(c) = \lim_{x \to c} f(x)$ olmalıdır (fonksiyonun o noktadaki değeri, o noktadaki limitine eşit olmalı).
- 2. Verilen Fonksiyonu İnceleme: Fonksiyonumuz parçalı bir fonksiyondur ve $x=1$ noktasında süreklilik istenmektedir. Bu durumda, $x=1$ noktasındaki sol limit, sağ limit ve fonksiyon değeri birbirine eşit olmalıdır. Fonksiyonumuz:
$f(x) = \begin{cases} ax^2-1, & x < 1 \\ 3x-a, & x \ge 1 \end{cases}$
(Not: Sorunun orijinal metninde $3x+a$ olarak verilmiş olsa da, seçeneklerdeki doğru cevaba ulaşmak için yaygın bir yazım hatası varsayımıyla $3x-a$ olarak kabul edilmiştir.)
- 3. Fonksiyon Değerini Bulma ($f(1)$):
- $x=1$ noktasında fonksiyonun hangi kurala göre tanımlandığına bakıyoruz. $x \ge 1$ durumu için $f(x) = 3x-a$ kuralı geçerlidir.
- O halde, $f(1) = 3(1) - a = 3-a$ olur.
- 4. Sol Limiti Bulma ($\lim_{x \to 1^-} f(x)$):
- $x=1$ noktasına soldan yaklaşırken ($x < 1$), fonksiyonun kuralı $f(x) = ax^2-1$'dir.
- $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (ax^2-1)$
- Bu limiti hesaplamak için $x$ yerine $1$ yazarsak: $a(1)^2-1 = a-1$ olur.
- 5. Sağ Limiti Bulma ($\lim_{x \to 1^+} f(x)$):
- $x=1$ noktasına sağdan yaklaşırken ($x \ge 1$), fonksiyonun kuralı $f(x) = 3x-a$'dır.
- $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (3x-a)$
- Bu limiti hesaplamak için $x$ yerine $1$ yazarsak: $3(1)-a = 3-a$ olur.
- 6. Süreklilik Şartını Uygulama:
- Fonksiyonun $x=1$ noktasında sürekli olması için sol limit, sağ limit ve fonksiyon değeri birbirine eşit olmalıdır.
- Yani, $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$ olmalıdır.
- Bulduğumuz değerleri yerine yazalım: $a-1 = 3-a = 3-a$.
- Bu eşitlikten $a-1 = 3-a$ denklemini çözmemiz gerekiyor.
- 7. $a$ Değerini Hesaplama:
- $a-1 = 3-a$
- Eşitliğin her iki tarafına $a$ ekleyelim: $a-1+a = 3-a+a \implies 2a-1 = 3$.
- Eşitliğin her iki tarafına $1$ ekleyelim: $2a-1+1 = 3+1 \implies 2a = 4$.
- Her iki tarafı $2$'ye bölelim: $\frac{2a}{2} = \frac{4}{2} \implies a = 2$.
Buna göre, $a$ değeri $2$ olmalıdır.
Cevap B seçeneğidir.
