Bu soruyu çözmek için öncelikle verilen fonksiyonun türevini almamız ve ardından $x=4$ değerini türev fonksiyonuna yerleştirmemiz gerekmektedir.
- 1. Fonksiyonu Türev Almaya Uygun Hale Getirme:
Verilen fonksiyon $f(x) = \sqrt{x} + \frac{2}{x}$ şeklindedir. Türev alma kurallarını daha rahat uygulayabilmek için bu ifadeyi üslü biçimde yazalım:
- $\sqrt{x}$ ifadesi $x^{1/2}$ olarak yazılabilir.
- $\frac{2}{x}$ ifadesi $2x^{-1}$ olarak yazılabilir.
Böylece fonksiyonumuz $f(x) = x^{1/2} + 2x^{-1}$ halini alır.
- 2. Fonksiyonun Türevini Bulma ($f'(x)$):
Şimdi $f(x)$ fonksiyonunun türevini bulalım. Genel türev kuralı $(x^n)' = nx^{n-1}$ şeklindedir.
- İlk terim olan $x^{1/2}$'nin türevi: $\frac{1}{2}x^{(1/2)-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
- İkinci terim olan $2x^{-1}$'in türevi: $2 \cdot (1)x^{-1-1} = 2x^{-2} = \frac{2}{x^2}$
Bu durumda, $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{x^2}$ olur.
- 3. $f'(4)$ Değerini Hesaplama:
Bulduğumuz türev fonksiyonunda $x$ yerine $4$ yazarak $f'(4)$ değerini hesaplayalım:
- $f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} + \frac{2}{4^2}$
- $\sqrt{4} = 2$ olduğu için ilk terim $\frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$ olur.
- $4^2 = 16$ olduğu için ikinci terim $\frac{2}{16} = \frac{1}{8}$ olur.
- $f'(4) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$
- Paydaları eşitlemek için $\frac{1}{4}$ ifadesini $\frac{2}{8}$ olarak yazalım.
- $f'(4) = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$
Buna göre, $f'(4)$ değeri $\frac{3}{8}$'dir.
Cevap E seçeneğidir.
