12. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 4. senaryo Test 2

$f(x) = (x^2+3)(2x-1)$ fonksiyonunun türevi $f'(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?

A) $6x^2-2x+6$

B) $2x^3-x^2+6x-3$

C) $2x(2x-1) + (x^2+3)$

D) $4x^2-2x+6$

E) $6x^2-2x-6$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, çarpım kuralını kullanarak bir fonksiyonun türevini nasıl alacağımızı adım adım öğreneceğiz. Fonksiyonumuz $f(x) = (x^2+3)(2x-1)$ şeklinde verilmiş. Bu tür fonksiyonların türevini alırken "Çarpım Kuralı"nı kullanırız.

• 1. Adım: Çarpım Kuralını Hatırlayalım

Eğer bir $f(x)$ fonksiyonu, iki ayrı fonksiyonun çarpımı şeklinde, yani $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ olarak verilmişse, türevi $f'(x)$ şu formülle bulunur:

$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

Burada $u'(x)$, $u(x)$'in türevi; $v'(x)$ ise $v(x)$'in türevidir.

• 2. Adım: $u(x)$ ve $v(x)$ Fonksiyonlarını Belirleyelim

Verilen $f(x) = (x^2+3)(2x-1)$ fonksiyonunda:

• Birinci fonksiyonumuz $u(x) = x^2+3$
• İkinci fonksiyonumuz $v(x) = 2x-1$
• 3. Adım: $u(x)$ ve $v(x)$ Fonksiyonlarının Türevlerini Bulalım
• $u(x) = x^2+3$ fonksiyonunun türevi $u'(x)$'i bulalım. Üs kuralını (yani $x^n$'in türevi $nx^{n-1}$'dir) ve sabit sayının türevinin sıfır olduğunu hatırlayalım:

$u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2+3) = 2x^{2-1} + 0 = 2x$

• $v(x) = 2x-1$ fonksiyonunun türevi $v'(x)$'i bulalım:

$v'(x) = \frac{d}{dx}(2x-1) = 2 \cdot 1 - 0 = 2$

• 4. Adım: Çarpım Kuralını Uygulayalım

Şimdi bulduğumuz $u(x)$, $v(x)$, $u'(x)$ ve $v'(x)$ değerlerini çarpım kuralı formülünde yerine yazalım:

$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

$f'(x) = (2x) \cdot (2x-1) + (x^2+3) \cdot (2)$

• 5. Adım: İfadeyi Sadeleştirelim

Şimdi bulduğumuz ifadeyi dağıtarak ve benzer terimleri birleştirerek sadeleştirelim:

• İlk terimi dağıtalım: $2x \cdot (2x-1) = 2x \cdot 2x - 2x \cdot 1 = 4x^2 - 2x$
• İkinci terimi dağıtalım: $(x^2+3) \cdot 2 = x^2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 = 2x^2 + 6$

Şimdi bu iki dağıtılmış ifadeyi toplayalım:

$f'(x) = (4x^2 - 2x) + (2x^2 + 6)$

$f'(x) = 4x^2 - 2x + 2x^2 + 6$

Benzer terimleri (yani $x^2$'li terimleri) birleştirelim:

$f'(x) = (4x^2 + 2x^2) - 2x + 6$

$f'(x) = 6x^2 - 2x + 6$

Böylece $f(x) = (x^2+3)(2x-1)$ fonksiyonunun türevi $f'(x) = 6x^2 - 2x + 6$ olarak bulunur.

Seçeneklere baktığımızda, bu ifade A seçeneğinde yer almaktadır.

Cevap A seçeneğidir.