12. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 4. senaryo Test 2

Toplamları $15$ olan iki pozitif sayının, birinin karesi ile diğerinin çarpımının en büyük değeri kaçtır?

A) $250$

B) $300$

C) $350$

D) $400$

E) $500$

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problemde, iki sayının toplamı verildiğinde, belirli bir çarpımın en büyük değerini bulmamız isteniyor. Bu tür optimizasyon problemlerini çözmek için genellikle türevden faydalanırız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Sayıları Tanımlayalım:

  İki pozitif sayımızı $x$ ve $y$ olarak adlandıralım. Problemde bu sayıların pozitif olduğu belirtilmiştir, yani $x > 0$ ve $y > 0$ olmalıdır.

• 2. Verilen Koşulu Yazalım:

  Sayıların toplamı $15$ olduğuna göre, ilk denklemimiz şudur:

  $x + y = 15$

• 3. En Büyük Değeri Aranacak İfadeyi Belirleyelim:

  Problemde "birinin karesi ile diğerinin çarpımının en büyük değeri" isteniyor. Bu ifadeyi matematiksel olarak yazarsak, $x^2 y$ veya $y^2 x$ olabilir. İki durum da bize aynı maksimum değeri verecektir. Biz $x^2 y$ ifadesini ele alalım. Bu ifadeye $f(x, y)$ diyelim:

  $f(x, y) = x^2 y$

• 4. İfadeyi Tek Değişken Cinsinden Yazalım:

  Türev alabilmek için ifademizi tek bir değişkene bağlı hale getirmeliyiz. Bunun için $x + y = 15$ denkleminden $y$'yi $x$ cinsinden yazalım:

  $y = 15 - x$

  Şimdi bu $y$ değerini $f(x, y)$ ifadesinde yerine koyalım. Böylece ifademiz sadece $x$'e bağlı bir fonksiyon olur:

  $f(x) = x^2 (15 - x)$

  Bu fonksiyonu açarsak:

  $f(x) = 15x^2 - x^3$

  Unutmayalım ki $x$ ve $y$ pozitif sayılar olduğu için $x > 0$ ve $15 - x > 0$ (yani $x < 15$) koşulları geçerlidir. Dolayısıyla $0 < x < 15$ aralığında çalışıyoruz.

• 5. Maksimum Değeri Bulmak İçin Türev Alalım:

  Bir fonksiyonun maksimum veya minimum değerini bulmak için, fonksiyonun türevini alıp sıfıra eşitleriz. $f(x)$ fonksiyonunun türevini alalım:

  $f'(x) = \frac{d}{dx}(15x^2 - x^3)$

  $f'(x) = 30x - 3x^2$

• 6. Türevi Sıfıra Eşitleyerek Kritik Noktaları Bulalım:

  Şimdi $f'(x)$'i sıfıra eşitleyelim:

  $30x - 3x^2 = 0$

  $3x(10 - x) = 0$

  Bu denklemden iki olası $x$ değeri elde ederiz:

  $3x = 0 \implies x = 0$

  $10 - x = 0 \implies x = 10$

  Ancak, $x$ pozitif bir sayı olmak zorunda olduğu için $x=0$ değerini eleriz. Dolayısıyla kritik noktamız $x = 10$'dur.

• 7. Kritik Noktanın Maksimum Değer Verdiğini Kontrol Edelim:

  Bulduğumuz $x=10$ noktasının bir maksimum değer mi yoksa minimum değer mi verdiğini anlamak için ikinci türev testini kullanabiliriz. $f'(x)$'in ikinci türevini alalım:

  $f''(x) = \frac{d}{dx}(30x - 3x^2)$

  $f''(x) = 30 - 6x$

  Şimdi $x=10$ değerini $f''(x)$'te yerine koyalım:

  $f''(10) = 30 - 6(10) = 30 - 60 = -30$

  İkinci türev değeri negatif ($f''(10) < 0$) olduğu için, $x=10$ noktasında fonksiyonumuz bir yerel maksimuma sahiptir. Bu aralıkta tek kritik nokta olduğu için bu aynı zamanda global maksimumdur.

• 8. Sayıları ve Maksimum Değeri Hesaplayalım:

  Maksimum değeri veren $x$ değerini $10$ olarak bulduk. Şimdi $y$ değerini bulalım:

  $y = 15 - x = 15 - 10 = 5$

  Yani sayılarımız $10$ ve $5$'tir.

  Şimdi bu değerleri en büyük değerini aradığımız $x^2 y$ ifadesinde yerine koyalım:

  Maksimum Değer $= (10)^2 \times 5 = 100 \times 5 = 500$

Bu problemde, iki sayının toplamı sabit olduğunda, birinin karesi ile diğerinin çarpımının maksimum değerini bulmak için türev alma yöntemini kullandık. Sonuç olarak, bu değer $500$ olarak bulunmuştur.

Cevap E seçeneğidir.