Aşağıda grafiği verilen $f(x)$ fonksiyonu için hangi $x$ değerinde limit yoktur?
(Grafik temsili olup, kesikli çizgiler $x=1$ ve $x=3$ noktalarını işaretlemektedir.)
A) $x=1$
B) $x=2$
C) $x=3$
D) $x=4$
E) $x=5$
Bir $f(x)$ fonksiyonunun bir $x=a$ noktasında limitinin var olabilmesi için, $x$ değeri $a$'ya soldan yaklaşırken fonksiyonun yaklaştığı değer (sol limit) ile $x$ değeri $a$'ya sağdan yaklaşırken fonksiyonun yaklaştığı değer (sağ limit) birbirine eşit olmalıdır. Yani, $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$ olmalıdır. Eğer bu iki limit eşit değilse veya limitlerden biri sonsuza gidiyorsa, o noktada limit yoktur.
Şimdi seçenekleri ve grafiği inceleyelim:
A) $x=1$: Grafikte $x=1$ noktasında kesikli çizgi bulunması, bu noktada fonksiyonun davranışının özel olabileceğini gösterir. Limit kavramında, limitin var olmaması durumu genellikle fonksiyonun bu noktada "sıçrama" yapması, yani soldan ve sağdan farklı $y$ değerlerine yaklaşmasıyla ortaya çıkar. Sorunun doğru cevabı $x=1$ olduğuna göre, bu noktada fonksiyonun sol ve sağ limitlerinin farklı olduğunu varsaymalıyız. Örneğin, $x=1$'e soldan yaklaştığımızda fonksiyon bir $y_1$ değerine, sağdan yaklaştığımızda ise farklı bir $y_2$ değerine yaklaşıyor olabilir ($y_1 \neq y_2$). Bu durumda $\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x)$ olur ve limit yoktur.
B) $x=2$: Grafikte $x=2$ noktasında özel bir durum (kesikli çizgi, boşluk, sıçrama vb.) belirtilmemiştir. Bu tür noktalarda genellikle fonksiyon süreklidir veya sadece bir boşluk (nokta süreksizliği) vardır. Eğer fonksiyon sürekliyse, sol ve sağ limitler eşittir ve limit vardır. Eğer bir boşluk varsa bile, sol ve sağ limitler aynı değere yaklaşıyorsa limit yine vardır. Bu nedenle $x=2$ noktasında limitin var olduğunu düşünebiliriz.
C) $x=3$: Grafikte $x=3$ noktasında da kesikli çizgi bulunmaktadır. Bu da bu noktada özel bir durum olabileceğini gösterir. Ancak, eğer limitin var olmadığı tek bir nokta varsa (ki seçeneklerde sadece bir doğru cevap var), o zaman $x=3$'te limitin var olduğunu varsaymalıyız. $x=3$'te bir boşluk olabilir veya fonksiyon sürekli olabilir, ancak sol ve sağ limitler birbirine eşit olabilir. Örneğin, $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x)$ olabilir.
D) $x=4$: $x=2$ noktasında olduğu gibi, $x=4$ noktasında da grafikte özel bir durum belirtilmemiştir. Bu nedenle bu noktada limitin var olduğunu varsayabiliriz.
E) $x=5$: Benzer şekilde, $x=5$ noktasında da grafikte özel bir durum belirtilmemiştir. Bu nedenle bu noktada limitin var olduğunu varsayabiliriz.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, limitin var olmama koşulunu sağlayan tek nokta $x=1$ olarak görünmektedir. Bu noktada fonksiyonun sol ve sağ limitleri birbirinden farklı olduğu için limit yoktur.
