11. sınıf fizik 2. dönem 1. yazılı 2. senaryo Test 1

Şekildeki gibi $+2q$ ve $-q$ yüklü noktasal cisimler, aralarında $2d$ uzaklık olacak şekilde sabitlenmiştir. Buna göre, bu iki yükün oluşturduğu elektrik alanın büyüklüğünün sıfır olduğu nokta, $q_1$ yükünden kaç $d$ uzaklıktadır?

A) $2d$

B) $2(\sqrt{2}-1)d$

C) $2(\sqrt{2}+1)d$

D) $4d$

E) $4(\sqrt{2}+1)d$

• Öncelikle, noktasal bir $q$ yükünün kendisinden $r$ uzaklıktaki bir noktada oluşturduğu elektrik alanın büyüklüğü $E = k \frac{|q|}{r^2}$ formülü ile bulunur. Burada $k$ Coulomb sabitidir. Elektrik alan vektörel bir büyüklüktür; pozitif yüklerden dışarı doğru, negatif yüklerden içeri doğru yönelir.
• İki yükün oluşturduğu elektrik alanın büyüklüğünün sıfır olduğu noktayı bulmak için, bu iki yükün oluşturduğu elektrik alan vektörlerinin birbirini sıfırlaması gerekir. Bu durum ancak alan vektörlerinin zıt yönlü olduğu ve büyüklüklerinin eşit olduğu noktalarda mümkündür.
• Şekildeki yükler $+2q$ ve $-q$'dur ve aralarındaki uzaklık $2d$'dir. Bu yüklerin oluşturduğu elektrik alanın sıfır olabileceği bölgeleri inceleyelim:
  • Yüklerin arasında (yani $+2q$ ile $-q$ arasında): Bu bölgedeki herhangi bir noktada, $+2q$ yükünün oluşturduğu elektrik alan sağa doğru (kendinden dışarı), $-q$ yükünün oluşturduğu elektrik alan da sağa doğru (kendine doğru) olacaktır. Her iki alan da aynı yönde olduğu için birbirlerini sıfırlayamazlar, aksine toplanırlar. Dolayısıyla bu bölgede net elektrik alan sıfır olamaz.
  • Büyük yüklü cismin dış tarafında (yani $+2q$'nun solunda): Bu bölgedeki bir noktada, $+2q$ yükünün alanı sola doğru, $-q$ yükünün alanı ise sağa doğru olacaktır. Alanlar zıt yönlüdür, bu yüzden sıfırlanma ihtimali vardır. Ancak, $+2q$ yükü hem daha büyük bir yüke sahiptir ($|2q| > |-q|$), hem de bu bölgedeki noktalara $-q$ yükünden daha yakındır. Daha büyük yüke sahip ve daha yakın olan bir yükün alanı, diğer yükün alanını sıfırlayamaz. Dolayısıyla bu bölgede de net elektrik alan sıfır olamaz.
  • Küçük yüklü cismin dış tarafında (yani $-q$'nun sağında): Bu bölgedeki bir noktada, $+2q$ yükünün alanı sağa doğru, $-q$ yükünün alanı ise sola doğru olacaktır. Alanlar zıt yönlüdür, bu yüzden sıfırlanma ihtimali vardır. Bu bölgede $-q$ yükü daha yakındır, ancak $+2q$ yükü daha büyük bir yüke sahiptir. Bu durumda, uzaklığın karesiyle ters orantılı olan alan büyüklükleri birbirini dengeleyebilir. Dolayısıyla net elektrik alanın sıfır olduğu nokta bu bölgede olmalıdır.
• Soruda "$q_1$ yükünden kaç $d$ uzaklıktadır?" diye sorulmuştur. Genellikle ilk bahsedilen yük $q_1$ olarak kabul edilir. Ancak seçeneklere baktığımızda, doğru cevabın $-q$ yükünden olan uzaklık olarak hesaplandığı anlaşılmaktadır. Bu nedenle, $q_1$ yükünü $-q$ olarak kabul edelim ve $+2q$ yükünü $q_2$ olarak adlandıralım.
• Koordinat sistemimizi kuralım: $q_1 = -q$ yükünü $x=0$ noktasına yerleştirelim. $q_2 = +2q$ yükü ise $x=2d$ noktasında olacaktır. Elektrik alanın sıfır olduğu noktayı $x$ ile gösterelim. Yukarıdaki analizimize göre, bu nokta $q_2$ yükünün sağında, yani $x > 2d$ bölgesinde olmalıdır.
• $x$ noktasındaki elektrik alanları yazalım:
  • $q_1 = -q$ yükünün $x$ noktasında oluşturduğu elektrik alanın büyüklüğü: $E_1 = k \frac{|-q|}{x^2} = k \frac{q}{x^2}$. Yönü $-q$ yüküne doğrudur, yani sola doğru.
  • $q_2 = +2q$ yükünün $x$ noktasında oluşturduğu elektrik alanın büyüklüğü: $E_2 = k \frac{|+2q|}{(x-2d)^2} = k \frac{2q}{(x-2d)^2}$. Yönü $+2q$ yükünden dışarı doğrudur, yani sağa doğru.
• Net elektrik alanın sıfır olması için $E_1$ ve $E_2$ büyüklüklerinin eşit olması gerekir: $E_1 = E_2$ $k \frac{q}{x^2} = k \frac{2q}{(x-2d)^2}$
• Denklemi basitleştirelim: $\frac{1}{x^2} = \frac{2}{(x-2d)^2}$ $(x-2d)^2 = 2x^2$
• Her iki tarafın karekökünü alalım: $\sqrt{(x-2d)^2} = \sqrt{2x^2}$ $|x-2d| = \sqrt{2}|x|$
• Yukarıdaki analizimize göre, sıfır alan noktası $x > 2d$ bölgesindedir. Bu durumda $x$ pozitif ve $(x-2d)$ de pozitiftir. $x-2d = \sqrt{2}x$
• $x$ terimlerini bir araya getirelim: $-2d = \sqrt{2}x - x$ $-2d = x(\sqrt{2}-1)$
• $x$'i yalnız bırakalım: $x = \frac{-2d}{\sqrt{2}-1}$
• Paydayı rasyonel hale getirmek için $(\sqrt{2}+1)$ ile çarpıp bölelim: $x = \frac{-2d}{(\sqrt{2}-1)} \times \frac{(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}+1)}$ $x = \frac{-2d(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}$ $x = \frac{-2d(\sqrt{2}+1)}{2 - 1}$ $x = \frac{-2d(\sqrt{2}+1)}{1}$ $x = -2d(\sqrt{2}+1)$
• Bu $x$ değeri, $q_1 = -q$ yükünün solunda bir noktayı ifade eder (negatif koordinat). Soruda "$q_1$ yükünden kaç $d$ uzaklıktadır?" diye sorulduğu için, uzaklık mutlak değer olarak alınır: Uzaklık $= |x| = |-2d(\sqrt{2}+1)| = 2d(\sqrt{2}+1)$
• Bu ifadeyi seçeneklerle karşılaştırdığımızda, C seçeneği ile aynı olduğunu görürüz.

Cevap C seçeneğidir.