Sayı aralıklarında kesişim işlemi nedir (∩) Test 1

10. A = {x | x ≤ 0, x ∈ R} ve B = {x | x > -5, x ∈ R} kümeleri veriliyor. A ∩ B kesişim kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (-5, 0]
B) [-5, 0]
C) (-5, 0)
D) [-5, 0)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, iki farklı küme tanımı verilmiş ve bizden bu kümelerin kesişimini bulmamız isteniyor. Kümeler gerçek sayılar (R) üzerinde tanımlanmıştır. Adım adım ilerleyerek soruyu çözelim.

• 1. Adım: Kümeleri Anlamak ve Aralık Gösterimine Çevirmek

• Öncelikle verilen kümelerin ne anlama geldiğini netleştirelim ve bunları aralık gösterimiyle ifade edelim. Aralık gösterimi, gerçek sayılar üzerindeki kümelerle çalışırken bize büyük kolaylık sağlar.

  • A kümesi: $A = \{x | x \leq 0, x \in R\}$
  • Bu tanım, $x$ değerlerinin 0'a eşit veya 0'dan küçük tüm gerçek sayılar olduğunu belirtir. Yani, eksi sonsuzdan 0'a kadar olan tüm sayılar bu kümeye dahildir ve 0 da kümeye dahildir.
  • Aralık gösterimiyle: $A = (-\infty, 0]$
  • Burada "]" sembolü, 0'ın kümeye dahil olduğunu gösterir.
  • B kümesi: $B = \{x | x > -5, x \in R\}$
  • Bu tanım, $x$ değerlerinin -5'ten büyük tüm gerçek sayılar olduğunu belirtir. Yani, -5'ten artı sonsuza kadar olan tüm sayılar bu kümeye dahildir ancak -5 bu kümeye dahil değildir.
  • Aralık gösterimiyle: $B = (-5, \infty)$
  • Burada "(" sembolü, -5'in kümeye dahil olmadığını gösterir.
• 2. Adım: Kesişim Kümesini Bulmak

• Kesişim kümesi ($A \cap B$), hem A kümesinde hem de B kümesinde ortak olarak bulunan elemanlardan oluşur. Başka bir deyişle, $x$ değerlerinin hem $x \leq 0$ koşulunu hem de $x > -5$ koşulunu aynı anda sağlaması gerekir.

  • Yani, $x$ için iki eşitsizliği birleştirmeliyiz: $x > -5$ ve $x \leq 0$.
  • Bu iki koşulu birleştirdiğimizde, $x$ sayısının -5'ten büyük ve 0'a eşit veya 0'dan küçük olması gerektiğini anlarız.
  • Bu durumu tek bir eşitsizlik olarak yazarsak: $-5 < x \leq 0$
• 3. Adım: Sonucu Aralık Olarak Yazmak

• Bulduğumuz $-5 < x \leq 0$ eşitsizliğini aralık gösterimine çevirelim:

  • $-5 < x$ ifadesi, aralığın sol tarafının açık olduğunu (yani -5'in dahil olmadığını) gösterir ve bu "(" sembolü ile ifade edilir.
  • $x \leq 0$ ifadesi, aralığın sağ tarafının kapalı olduğunu (yani 0'ın dahil olduğunu) gösterir ve bu "]" sembolü ile ifade edilir.
  • Bu durumda kesişim kümesi $A \cap B = (-5, 0]$ olarak bulunur.
• 4. Adım: Seçeneklerle Karşılaştırmak

• Bulduğumuz $A \cap B = (-5, 0]$ sonucunu verilen seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneği ile eşleştiğini görürüz.

Cevap A seçeneğidir.