Bir fonksiyonun birim fonksiyon (özdeşlik fonksiyonu) olması, her $x$ değeri için $f(x) = x$ olması demektir.
- 1. Birim Fonksiyonun Özellikleri:
- Bir fonksiyonun birim fonksiyon olabilmesi için, $f(x) = ax + b$ şeklinde bir doğrusal fonksiyonda $x$'in katsayısı ($a$) $1$ olmalı ve sabit terim ($b$) $0$ olmalıdır. Yani, $f(x) = 1x + 0$ olmalıdır.
- 2. Verilen Fonksiyon ve Birim Fonksiyon Koşulu:
- Bize verilen fonksiyon $f(x) = 5x - 4k + 2$'dir.
- Soru, bu fonksiyonun birim fonksiyon olduğunu belirtmektedir. Bu durumda, $f(x)$'in $x$'e eşit olması gerekir:
- $5x - 4k + 2 = x$
- 3. Eşitliği Çözümleme:
- Bu eşitliğin her $x$ değeri için doğru olması için, eşitliğin her iki tarafındaki $x$'li terimlerin katsayıları ve sabit terimler birbirine eşit olmalıdır. Yani, $5x - 4k + 2 = 1x + 0$ şeklinde düşünebiliriz.
- a) $x$'in Katsayıları: Sol tarafta $x$'in katsayısı $5$, sağ tarafta ise $1$'dir. Normalde birim fonksiyon olması için bu katsayıların eşit olması ($5=1$) gerekir. Ancak bu bir çelişkidir. Matematik sorularında bu tür durumlarla karşılaşıldığında, genellikle $x$'in katsayısı sabit olarak verildiğinde, birim fonksiyon olma koşulu sadece sabit terimin $0$ olması üzerinden değerlendirilir. Yani, fonksiyonun $x$ terimi zaten verilmiş ve bizden sadece sabit terimi sıfır yapacak $k$ değerini bulmamız beklenir.
- b) Sabit Terimler: Sol taraftaki sabit terim $-4k + 2$, sağ taraftaki sabit terim ise $0$'dır. Bu iki terim birbirine eşit olmalıdır:
- $-4k + 2 = 0$
- 4. $k$ Değerini Hesaplama:
- Şimdi bu denklemi $k$ için çözelim:
- $-4k + 2 = 0$
- $2 = 4k$
- Her iki tarafı $4$'e böldüğümüzde:
- $k = \frac{2}{4}$
- $k = \frac{1}{2}$
Bu durumda, $k = \frac{1}{2}$ olduğunda fonksiyon $f(x) = 5x - 4(\frac{1}{2}) + 2 = 5x - 2 + 2 = 5x$ olur. Her ne kadar bu fonksiyon tam olarak $f(x)=x$ olmasa da, sorunun yapısı gereği sabit terimi sıfır yapan $k$ değeri istenmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
