Bir $ABC$ üçgeni ile bir $DEF$ üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı $\frac{1}{2}$'dir. Eğer $ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları $AB = 4 \text{ cm}$, $BC = 6 \text{ cm}$ ve $AC = 8 \text{ cm}$ ise, $DEF$ üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
(Not: Benzerlik oranı $\frac{\text{ABC üçgeninin kenar uzunluğu}}{\text{DEF üçgeninin kenar uzunluğu}}$ şeklinde verilmiştir.)
A) $DE = 8 \text{ cm}$, $EF = 12 \text{ cm}$, $DF = 16 \text{ cm}$
B) $DE = 2 \text{ cm}$, $EF = 3 \text{ cm}$, $DF = 4 \text{ cm}$
C) $DE = 4 \text{ cm}$, $EF = 6 \text{ cm}$, $DF = 8 \text{ cm}$
D) $DE = 1 \text{ cm}$, $EF = 2 \text{ cm}$, $DF = 3 \text{ cm}$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, benzer üçgenlerin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi anlamamız gerekiyor. İki üçgen benzer olduğunda, karşılıklı kenarlarının oranları birbirine eşittir ve bu orana benzerlik oranı denir. Şimdi adım adım çözümümüze geçelim:
- Benzerlik Oranını Anlayalım: Soruda $ABC$ üçgeni ile $DEF$ üçgeninin benzer olduğu ve benzerlik oranının $\frac{1}{2}$ olduğu belirtilmiştir. Bu oran, $\frac{\text{ABC üçgeninin kenar uzunluğu}}{\text{DEF üçgeninin kenar uzunluğu}}$ şeklinde tanımlanmıştır. Yani, $ABC$ üçgeninin bir kenar uzunluğunu, $DEF$ üçgeninin karşılık gelen kenar uzunluğuna böldüğümüzde sonucun $\frac{1}{2}$ olması gerekir.
- Karşılıklı Kenarları Belirleyelim: Üçgenlerin benzerliği $ABC \sim DEF$ şeklinde verildiğinde, köşelerin sırası karşılıklı kenarları belirler. Buna göre:
- $AB$ kenarı, $DE$ kenarına karşılık gelir.
- $BC$ kenarı, $EF$ kenarına karşılık gelir.
- $AC$ kenarı, $DF$ kenarına karşılık gelir.
- $DE$ Kenarının Uzunluğunu Bulalım:
Benzerlik oranını kullanarak $DE$ kenarının uzunluğunu hesaplayabiliriz:
$\frac{AB}{DE} = \frac{1}{2}$
$AB$ kenarının uzunluğu $4 \text{ cm}$ olarak verilmiştir. Bu değeri denklemde yerine yazalım:
$\frac{4}{DE} = \frac{1}{2}$
İçler dışlar çarpımı yaparak $DE$ uzunluğunu bulalım:
$1 \cdot DE = 4 \cdot 2$
$DE = 8 \text{ cm}$
- $EF$ Kenarının Uzunluğunu Bulalım:
Aynı benzerlik oranını $BC$ ve $EF$ kenarları için de uygulayalım:
$\frac{BC}{EF} = \frac{1}{2}$
$BC$ kenarının uzunluğu $6 \text{ cm}$ olarak verilmiştir. Bu değeri denklemde yerine yazalım:
$\frac{6}{EF} = \frac{1}{2}$
İçler dışlar çarpımı yaparak $EF$ uzunluğunu bulalım:
$1 \cdot EF = 6 \cdot 2$
$EF = 12 \text{ cm}$
- $DF$ Kenarının Uzunluğunu Bulalım:
Son olarak, $AC$ ve $DF$ kenarları için benzerlik oranını kullanalım:
$\frac{AC}{DF} = \frac{1}{2}$
$AC$ kenarının uzunluğu $8 \text{ cm}$ olarak verilmiştir. Bu değeri denklemde yerine yazalım:
$\frac{8}{DF} = \frac{1}{2}$
İçler dışlar çarpımı yaparak $DF$ uzunluğunu bulalım:
$1 \cdot DF = 8 \cdot 2$
$DF = 16 \text{ cm}$
- Sonuçları Değerlendirelim:
$DEF$ üçgeninin kenar uzunluklarını sırasıyla $DE = 8 \text{ cm}$, $EF = 12 \text{ cm}$ ve $DF = 16 \text{ cm}$ olarak bulduk.
Bu sonuçlar, seçenekler arasında A seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
