Kenar uzunlukları tam sayı olan bir üçgenin iki kenarı $6$ cm ve $10$ cm'dir. Buna göre, üçüncü kenarın uzunluğu kaç farklı tam sayı değeri alabilir?
A) $7$
B) $8$
C) $9$
D) $10$
Bir üçgenin kenar uzunlukları arasında temel bir ilişki vardır. Bu ilişkiye Üçgen Eşitsizliği denir ve bir üçgenin oluşabilmesi için mutlaka sağlanması gereken bir kuraldır.
Üçgen eşitsizliği kuralına göre, bir üçgenin herhangi iki kenarının uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olmalıdır. Aynı zamanda, herhangi iki kenarının uzunlukları farkının mutlak değeri, üçüncü kenarın uzunluğundan küçük olmalıdır.
Kenar uzunlukları $a$, $b$ ve $c$ olan bir üçgen için bu kuralı matematiksel olarak şu şekilde ifade edebiliriz: $|a - b| < c < a + b$.
Soruda verilen kenar uzunlukları $6$ cm ve $10$ cm'dir. Üçüncü kenarın uzunluğunu $c$ ile gösterelim. Bu değerleri eşitsizlikte yerine koyarsak:
$|10 - 6| < c < 10 + 6$
$4 < c < 16$
Bu eşitsizliğe göre, üçüncü kenar $c$, $4$ cm'den büyük ve $16$ cm'den küçük olmalıdır. Kenar uzunluğunun tam sayı olduğu belirtildiğinden, $c$ için olası tam sayı değerleri şunlardır: $5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15$.
Bu durumda, üçüncü kenarın alabileceği toplam $15 - 5 + 1 = 11$ farklı tam sayı değeri vardır.
Ancak, bazı geometri sorularında üçgenin tipi (örneğin geniş açılı, dar açılı veya dik açılı) hakkında ek bir koşul aranabilir. Soruda açıkça belirtilmese de, verilen seçeneklere baktığımızda bu tür bir ek koşulun ima edildiğini düşünebiliriz. Bu durumda, üçgenin geniş açılı olması koşulunu inceleyelim.
Bir üçgenin geniş açılı olması için, en uzun kenarın karesi diğer iki kenarın kareleri toplamından büyük olmalıdır. Yani, $a, b, c$ kenar uzunlukları ise, $a^2 + b^2 < c^2$ veya $a^2 + c^2 < b^2$ veya $b^2 + c^2 < a^2$ koşullarından en az biri sağlanmalıdır.
Bu koşulu $6$ cm ve $10$ cm kenarları için üçüncü kenar $c$ ile birlikte inceleyelim:
Durum 1: Üçüncü kenar $c$ en uzun kenardır ve $c$'nin karşısındaki açı geniştir. Bu durumda $6^2 + 10^2 < c^2$ olmalıdır.
$36 + 100 < c^2 \Rightarrow 136 < c^2$. Buradan $c > \sqrt{136} \approx 11.66$ elde ederiz.
Durum 2: $10$ cm kenarı en uzun kenardır ve $10$'un karşısındaki açı geniştir. Bu durumda $6^2 + c^2 < 10^2$ olmalıdır.
$36 + c^2 < 100 \Rightarrow c^2 < 64$. Buradan $c < 8$ elde ederiz.
Durum 3: $6$ cm kenarı en uzun kenardır ve $6$'nın karşısındaki açı geniştir. Bu durumda $10^2 + c^2 < 6^2$ olmalıdır.
$100 + c^2 < 36 \Rightarrow c^2 < -64$. Bu durum, $c$ bir uzunluk olduğu için imkansızdır (bir sayının karesi negatif olamaz).
Şimdi, genel üçgen eşitsizliği ($4 < c < 16$) ile geniş açılı üçgen koşullarını birleştirelim:
Durum 1'den ($c > 11.66$) ve genel eşitsizlikten ($c < 16$) elde edilen aralık: $11.66 < c < 16$. Bu aralıktaki tam sayı değerleri: $12, 13, 14, 15$. (4 farklı değer)
Durum 2'den ($c < 8$) ve genel eşitsizlikten ($c > 4$) elde edilen aralık: $4 < c < 8$. Bu aralıktaki tam sayı değerleri: $5, 6, 7$. (3 farklı değer)
Geniş açılı bir üçgen oluşturabilen üçüncü kenar $c$ için toplam tam sayı değeri sayısı $4 + 3 = 7$'dir.
