Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir eşitsizliği adım adım çözerek $x$'in hangi değerleri alabileceğini bulacağız. Eşitsizlikleri çözerken denklemlerde olduğu gibi bazı temel kuralları uygularız, ancak eşitsizlik işaretinin yönünü değiştirmemiz gereken özel bir durum vardır. Haydi başlayalım!
- Adım 1: Parantezi Dağıtma
- Öncelikle eşitsizliğin sol tarafındaki parantezi açarak dağıtma işlemini yapıyoruz. Yani $-2$ sayısını parantezin içindeki her terimle çarpıyoruz.
- Eşitsizliğimiz: $-2(x + 3) \ge 4x - 12$
- $-2 \cdot x + (-2) \cdot 3 \ge 4x - 12$
- Bu işlemi yaptığımızda eşitsizliğimiz şu hale gelir: $-2x - 6 \ge 4x - 12$
- Adım 2: Benzer Terimleri Bir Araya Getirme
- Şimdi $x$'li terimleri eşitsizliğin bir tarafına, sabit sayıları ise diğer tarafına toplayalım. Genellikle $x$'in katsayısını pozitif yapmak için $x$'li terimi daha büyük katsayılı $x$'in olduğu tarafa taşımak pratik bir yoldur. Bu durumda $4x$ daha büyük olduğu için $-2x$'i sağ tarafa, $-12$'yi ise sol tarafa taşıyalım.
- Her iki tarafa $2x$ ekleyelim: $-2x - 6 + 2x \ge 4x - 12 + 2x$
- Bu durumda eşitsizlik: $-6 \ge 6x - 12$ olur.
- Şimdi de her iki tarafa $12$ ekleyelim: $-6 + 12 \ge 6x - 12 + 12$
- Bu durumda eşitsizlik: $6 \ge 6x$ olur.
- Adım 3: $x$'i Yalnız Bırakma
- Şimdi $x$'i yalnız bırakmak için eşitsizliğin her iki tarafını $x$'in katsayısı olan $6$'ya böleceğiz. Pozitif bir sayıya böldüğümüz veya çarptığımız için eşitsizlik işaretinin yönü değişmez.
- $\frac{6}{6} \ge \frac{6x}{6}$
- Bu işlemi yaptığımızda eşitsizliğimizin çözümü: $1 \ge x$ olur.
- Adım 4: Çözüm Kümesini Belirleme
- $1 \ge x$ ifadesi, $x$'in $1$'den küçük veya $1$'e eşit olduğu anlamına gelir. Bunu genellikle $x \le 1$ şeklinde yazarız.
- Bu, çözüm kümesinin $1$ ve $1$'den küçük tüm gerçek sayılardan oluştuğu anlamına gelir.
- Adım 5: Seçeneklerle Karşılaştırma
- Bulduğumuz çözüm $x \le 1$ şeklindedir. Seçeneklere baktığımızda:
- A) $x \ge 1$
- B) $x \le 1$
- C) $x \ge -1$
- D) $x \le -1$
- Bizim çözümümüz B seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
