Bu soruda, iki farklı üçgenin kenar uzunlukları verilmiş ve aralarındaki ilişkiyi bulmamız isteniyor. Adım adım inceleyelim:
Birinci üçgenin kenar uzunlukları $3$ cm, $4$ cm ve $5$ cm'dir.
İkinci üçgenin kenar uzunlukları $6$ cm, $8$ cm ve $10$ cm'dir.
Bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını anlamak için Pisagor Teoremi'ni ($a^2 + b^2 = c^2$) kullanırız. Burada $c$ en uzun kenardır.
Birinci üçgen için: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. En uzun kenarın karesi $5^2 = 25$. Gördüğümüz gibi $3^2 + 4^2 = 5^2$ eşitliği sağlanıyor. Bu nedenle birinci üçgen bir dik üçgendir.
İkinci üçgen için: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. En uzun kenarın karesi $10^2 = 100$. Burada da $6^2 + 8^2 = 10^2$ eşitliği sağlanıyor. Yani ikinci üçgen de bir dik üçgendir.
Her iki üçgen de dik üçgenmiş. Bu bilgi, D seçeneğini düşündürebilir ancak sorunun asıl amacı "ilişkiyi" bulmaktır. Sadece dik üçgen olmaları, aralarındaki özel bir ilişkiyi (eşlik veya benzerlik) dışlamaz.
İki üçgenin eş olması için, karşılıklı kenar uzunluklarının ve karşılıklı açılarının tamamen aynı olması gerekir. Bizim üçgenlerimizin kenar uzunlukları $(3, 4, 5)$ ve $(6, 8, 10)$ farklıdır. Dolayısıyla bu üçgenler eş değildir. A seçeneği elenir.
İki üçgenin benzer olması için, karşılıklı açılarının eşit ve karşılıklı kenar uzunluklarının oranlarının (benzerlik oranının) birbirine eşit olması gerekir. Kenar uzunluklarını oranlayarak kontrol edelim:
En kısa kenarların oranı: $\frac{6}{3} = 2$.
Ortanca kenarların oranı: $\frac{8}{4} = 2$.
En uzun kenarların oranı: $\frac{10}{5} = 2$.
Gördüğümüz gibi, karşılıklı kenar uzunlukları arasındaki oran (benzerlik oranı) her zaman $2$'dir. Bu, üçgenlerin benzer olduğu anlamına gelir. Benzer üçgenlerin karşılıklı açıları da eşittir.
Her iki üçgen de dik üçgen olmasına rağmen, kenar uzunlukları farklıdır ancak kenar uzunlukları arasında sabit bir oran bulunmaktadır. Bu durum, üçgenlerin benzer olduğunu gösterir.
Cevap B seçeneğidir.
