Bir $ABC$ üçgeni ile bir $DEF$ üçgeni benzerdir. Kenar uzunlukları $|AB| = 6 \text{ cm}$, $|BC| = 9 \text{ cm}$, $|AC| = 12 \text{ cm}$ olan $ABC$ üçgenine benzer olan $DEF$ üçgeninin en kısa kenarı $4 \text{ cm}$ ise, $DEF$ üçgeninin en uzun kenarının uzunluğu kaç santimetredir?
A) $6$
B) $8$
C) $9$
D) $10$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, benzer üçgenlerin özelliklerini kullanarak kenar uzunluklarını bulacağız. Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir. Bu orana 'benzerlik oranı' denir. Haydi adım adım çözelim:
- Adım 1: $ABC$ Üçgeninin Kenar Uzunluklarını ve Özelliklerini Belirleyelim.
- Bize verilen $ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları şunlardır:
- $|AB| = 6 \text{ cm}$
- $|BC| = 9 \text{ cm}$
- $|AC| = 12 \text{ cm}$
- Bu kenarlar arasında en kısa olanı $6 \text{ cm}$ ($|AB|$ kenarıdır).
- Bu kenarlar arasında en uzun olanı $12 \text{ cm}$ ($|AC|$ kenarıdır).
- Adım 2: $DEF$ Üçgeninin Bilinen Kenarını ve Benzerlik Oranını Bulalım.
- $DEF$ üçgeni, $ABC$ üçgenine benzerdir. Bu, karşılıklı kenarlarının oranının sabit olduğu anlamına gelir.
- $DEF$ üçgeninin en kısa kenarı $4 \text{ cm}$ olarak verilmiştir.
- Benzer üçgenlerde, en kısa kenar karşılıklı en kısa kenara, en uzun kenar da karşılıklı en uzun kenara denk gelir.
- Bu durumda, $DEF$ üçgeninin $4 \text{ cm}$'lik en kısa kenarı, $ABC$ üçgeninin $6 \text{ cm}$'lik en kısa kenarına karşılık gelir.
- Benzerlik oranını (küçük üçgenin kenarı / büyük üçgenin kenarı) bulmak için bu karşılıklı kenarları oranlayalım:
- Benzerlik oranı $k = \frac{\text{DEF üçgeninin en kısa kenarı}}{\text{ABC üçgeninin en kısa kenarı}} = \frac{4 \text{ cm}}{6 \text{ cm}}$
- Bu oranı sadeleştirdiğimizde: $k = \frac{2}{3}$ olur.
- Adım 3: $DEF$ Üçgeninin En Uzun Kenarını Hesaplayalım.
- $ABC$ üçgeninin en uzun kenarı $12 \text{ cm}$ idi.
- $DEF$ üçgeninin en uzun kenarını bulmak için, $ABC$ üçgeninin en uzun kenarını benzerlik oranı ile çarpmamız gerekir.
- $DEF$ üçgeninin en uzun kenarı $= (\text{ABC üçgeninin en uzun kenarı}) \times (\text{Benzerlik oranı})$
- $DEF$ üçgeninin en uzun kenarı $= 12 \text{ cm} \times \frac{2}{3}$
- Hesaplamayı yapalım: $12 \times \frac{2}{3} = \frac{12 \times 2}{3} = \frac{24}{3} = 8 \text{ cm}$.
- Yani, $DEF$ üçgeninin en uzun kenarının uzunluğu $8 \text{ cm}$'dir.
Bu adımları takip ederek doğru cevabı bulduk.
Cevap B seçeneğidir.
