8. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 6. senaryo Test 2

Kenar uzunlukları $3 \text{ cm}, 4 \text{ cm}, 5 \text{ cm}$ olan bir $ABC$ üçgeni ile kenar uzunlukları $6 \text{ cm}, 8 \text{ cm}, 10 \text{ cm}$ olan bir $DEF$ üçgeni verilmiştir. Bu iki üçgen arasındaki benzerlik oranı kaçtır?

A) $1$

B) $2$

C) $\frac{1}{2}$

D) $\frac{3}{2}$

Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için üçgenlerde benzerlik kavramını ve benzerlik oranının nasıl bulunduğunu hatırlamamız gerekiyor. İki üçgenin benzer olması demek, açılarının eşit ve karşılıklı kenarlarının oranlarının birbirine eşit olması demektir. Bu oran, benzerlik oranı olarak adlandırılır.

• Adım 1: Verilen üçgenlerin kenar uzunluklarını belirleyelim.

  Birinci üçgenimiz $ABC$ üçgeni, kenar uzunlukları $3 \text{ cm}, 4 \text{ cm}, 5 \text{ cm}$.

  İkinci üçgenimiz $DEF$ üçgeni, kenar uzunlukları $6 \text{ cm}, 8 \text{ cm}, 10 \text{ cm}$.

  Bu kenar uzunluklarına baktığımızda, her iki üçgenin de özel bir üçgen olduğunu fark edebiliriz. $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ ve $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$ olduğundan, her iki üçgen de dik üçgendir. Bu bilgi, benzerliği anlamamıza yardımcı olur ancak benzerlik oranını bulmak için zorunlu değildir.

• Adım 2: Karşılıklı kenarları eşleştirelim.

  Benzerlik oranını bulmak için, üçgenlerin en kısa kenarını en kısa kenarıyla, orta uzunluktaki kenarını orta uzunluktaki kenarıyla ve en uzun kenarını en uzun kenarıyla eşleştirmemiz gerekir. Bu eşleşmeyi yaparak oranları hesaplayacağız.

  • $ABC$ üçgeninin en kısa kenarı $3 \text{ cm}$.
  • $DEF$ üçgeninin en kısa kenarı $6 \text{ cm}$.
  • $ABC$ üçgeninin orta uzunluktaki kenarı $4 \text{ cm}$.
  • $DEF$ üçgeninin orta uzunluktaki kenarı $8 \text{ cm}$.
  • $ABC$ üçgeninin en uzun kenarı $5 \text{ cm}$.
  • $DEF$ üçgeninin en uzun kenarı $10 \text{ cm}$.
• Adım 3: Karşılıklı kenarların oranlarını hesaplayalım.

  Şimdi eşleştirdiğimiz kenarların oranlarını bulalım:

  • En kısa kenarların oranı: $\frac{3 \text{ cm}}{6 \text{ cm}} = \frac{1}{2}$
  • Orta uzunluktaki kenarların oranı: $\frac{4 \text{ cm}}{8 \text{ cm}} = \frac{1}{2}$
  • En uzun kenarların oranı: $\frac{5 \text{ cm}}{10 \text{ cm}} = \frac{1}{2}$
• Adım 4: Benzerlik oranını belirleyelim.

  Gördüğümüz gibi, tüm karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir ve hepsi $\frac{1}{2}$'ye eşittir. Bu ortak oran, iki üçgen arasındaki benzerlik oranıdır.

  Bu durum, $ABC$ üçgeninin $DEF$ üçgeninin yarısı büyüklüğünde olduğunu veya $DEF$ üçgeninin $ABC$ üçgeninin iki katı büyüklüğünde olduğunu gösterir. Soruda "Bu iki üçgen arasındaki benzerlik oranı kaçtır?" denildiğinde, genellikle ilk verilen üçgenin ikinciye oranını buluruz. Yani $ABC$ üçgeninin $DEF$ üçgenine benzerlik oranı sorulmaktadır.

Cevap C seçeneğidir.