Bir dik üçgende dik açının bulunduğu köşeden hipotenüse indirilen dikme, hipotenüsü $4$ cm ve $9$ cm'lik iki parçaya ayırmaktadır. Buna göre, dikmenin uzunluğu kaç cm'dir?
(Görselde $ABC$ dik üçgeni, $A$ köşesi dik açı, $AH$ hipotenüse inen dikme. $BH = 4$ cm, $HC = 9$ cm.)
A) $5$
B) $6$
C) $7$
D) $8$
E) $9$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda bir dik üçgende, dik açıdan hipotenüse indirilen dikmenin uzunluğunu bulmamız isteniyor. Bu tür problemler için geometri derslerinde öğrendiğimiz çok önemli bir bağıntı olan Öklid Bağıntıları'nı kullanacağız.
- Öncelikle, soruda verilen bilgileri dikkatlice inceleyelim:
- Bir $ABC$ dik üçgenimiz var ve dik açı $A$ köşesindedir.
- $A$ köşesinden hipotenüs $BC$'ye bir $AH$ dikmesi indirilmiş. Bu $AH$ dikmenin uzunluğunu bulacağız.
- Bu dikme, hipotenüsü $BH = 4$ cm ve $HC = 9$ cm olmak üzere iki parçaya ayırmış.
- Şimdi, Öklid Bağıntıları'ndan yükseklik bağıntısını hatırlayalım. Bu bağıntı der ki: Bir dik üçgende, dik açıdan hipotenüse indirilen dikmenin uzunluğunun karesi, bu dikmenin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunluklarının çarpımına eşittir.
- Matematiksel olarak ifade edersek, eğer dikmenin uzunluğu $h$, hipotenüsün ayırdığı parçalar $p$ ve $k$ ise, bağıntı $h^2 = p \cdot k$ şeklindedir.
- Bizim sorumuzda:
- Dikmenin uzunluğu $AH$ (buna $h$ diyelim).
- Hipotenüsün ayırdığı parçalar $BH = 4$ cm (buna $p$ diyelim) ve $HC = 9$ cm (buna $k$ diyelim).
- Şimdi bu değerleri bağıntımızda yerine yazalım:
$AH^2 = BH \cdot HC$
$AH^2 = 4 \cdot 9$
- Çarpma işlemini yapalım:
$AH^2 = 36$
- $AH$'nin uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:
$AH = \sqrt{36}$
- $36$'nın karekökü $6$'dır.
$AH = 6$ cm
Buna göre, dikmenin uzunluğu $6$ cm'dir.
Cevap B seçeneğidir.
